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DORNTORUS (1)
DORNTORUS 2
Solltest Du mir jetzt vorwerfen, ins mittelalterliche Zahnradkonzept zurückgefallen zu sein, so muß ich zugeben, daß ich trotz der vielen einleitenden
Worte versagt habe im Bemühen, mich verständlich zu machen. Allerdings glaube ich, daß Deine Fähigkeit, zwischen den Zeilen zu lesen und Gedankensprünge zu interpolieren, mein Unvermögen mehr als wettmacht. Dennoch - die Sprünge des
letzten Absatzes sind wohl doch unzumutbar weit ausgefallen und dabei folgen noch so viele mehr! Und die Sprünge werden immer weiter! Ich bin doch im Zweifel, ob ich mich werde verständlich machen können.
Ich kann nicht mehr
beurteilen, wieviel gedanklicher Vorarbeit es bedarf, um mich bei den Schritten - es werden wohl wieder Sprünge werden -, die ich als nächste vollziehen will, zu begleiten. Die Idee ist für mich zum Inbegriff von Selbstverständlichkeit
geworden nach Jahren besessenen Eindenkens, nach Tausenden von Versuchen, den Zugang zu höchster Abstraktion zu finden. Oft befand ich mich in einem Zustand entrückter Trance, vergaß zu essen, zu trinken, zu schlafen - der Körper in
absoluter Entspannung, die Gedanken in rasender Rotation. Ohne Orchidees Anstrengungen, mit Liebe und Machete immer wieder meinen wild wuchernden Torusdschungel zu lichten, hätte ich womöglich den Boden unter den Füßen verloren und auch
noch vergessen, wie schön
das Leben doch ist. Der Kampf ist vorüber, ist heil überstanden. Meine Tori leisten nun, was sie sollen - mehr ist nicht vonnöten, und es kommt kein Zweifel mehr auf durch das Urteil des Experten: „Dae Wong? Nie gehört! Worüber hat er gearbeitet?
Wo hat er veröffentlicht? Ach - ein Außenseiter. Armer Irrer - immer dasselbe: kaum versucht sich ein Laie an der Wissenschaft, hat er auch schon den Kreis quadriert und das Perpetuum mobile erfunden. Nein, das ist uninteressant. Wirfs in Papierkorb.
Schade um's Papier!“ ... Was kümmert's mich?! Jeder hat seine Freude, ich hab' meine. ...
Natürlich ließe sich das Wesentliche auch leicht streng mathematisch aufbauen ohne die umgangssprachliche Umschreibung. Doch diesen Versuch habe ich für einen anderen Ort vorgesehen. Er behindert das eigentliche Ziel,
Engramme zu durchbrechen, führt oft zu Tautologien und verdeckt die Zusammenhänge. Meine Denkstruktur ist
eine mathematische und ich sehe es als eine größere Herausforderung, meine Bilder in einer mir eher ungewohnten Art und Weise auszuarbeiten - auch um andere Perspektiven zu entdecken. Und außerdem - wolltest Du einen Brief von mir lesen,
der nur aus Kürzeln und Symbolen besteht? Und es ist doch viel schöner, Märchen und Geschichten zu erzählen, als mathematische Gleichungen zu unterbreiten. Besonders, wenn das Märchen schneller zum selben Schluß führt als die lange Rechnung.
Das will ich jetzt tun: ein kurzes, aber spannendes Märchen und eine entspannende Geschichte erzählen.
Die Vertreibung der Leere
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Äonen tat die Leere nichts anderes als Zahlen zu zählen. Eine Zahl nach der anderen, in schöner Ordnung und Reihenfolge, ließ sie durch sich
hindurchwandern. Jede verweilte nur unendlich kurz, dann wurde schon die nächste Zahl gezählt. Es konnten natürlich keine reellen Zahlen sein, denn schließlich war es die Leere, die zählte und es gab noch kein reelles Universum, noch keine
Realität, in der sie reelle Zahlen hätte finden können. Nein, die Zahlen waren nur imaginär. Nachdem sie schon unendlich oft, in friedlicher Stille, alle unendlich vielen imaginären Zahlen mit all ihren unendlich vielen Stellen hinter dem
Komma durchgezählt hatte, da geschah es:
Ein einziges Mal, gerade war die Zahl 0,0072973527...(i) vorbeigekommen, stutzte sie einen unendlich kurzen Augenblick, wußte diesen unendlich kurzen Augenblick nicht mehr, in welche
Richtung sie weiterzuzählen hatte, begann leicht zu rotieren und zählte dadurch versehentlich in eine falsche Richtung. Nur eine einzige falsche Zahl zählte sie. Sie hatte eine einzige reelle Zahl zu ihren imaginären hinzugefügt. Das hätte
sie nicht tun sollen! Aus war es mit der friedlichen Stille! Diese eine Zahl verstand es, sich mit den imaginären zu verbinden, sich schlagartig zu vermehren, eine neue Unendlichkeit zu formen und diese mit einer gewaltigen Fülle zu
versehen. Die Zahlen waren der Leere entglitten, sie wurden mächtiger als ihre Schöpferin. Die neuen Zahlen, in Gesellschaft der alten, waren von rasender Aggression. Sie vertrieben nicht nur die Leere, sondern bekämpften sich auch
gegenseitig. Die aggressivsten, das waren die meisten, vernichteten einander in unbändigem Kampf in der gesamten neuen Unendlichkeit. Mit den reellen Zahlen war die unendliche Realität entstanden, von Anfang an durch wütende Aggression
geprägt. Nur ein kleiner Rest, Paare aus neuen und alten Zahlen, aus reellen und imaginären - komplexe Zahlen - überlebte das infernalische Chaos. Sie haben ihre ursprüngliche Wut vergessen und verleihen heute der Realität ihre unendliche
Komplexität.
Die reellen hatten erkannt, daß sie ohne imaginäre nicht existieren können und sich ihnen freiwillig untergeordnet. Und die Leere? Sie hat beim Stolpern über 0,0072973527...(i) vermutlich diese Zahl ausgelassen
und sich damit ein stilles Plätzchen reserviert, wo sie ihrer Leidenschaft, dem Zählen, nachgehen kann. In der neuen Welt der komplexen Zahlen ist kein Platz mehr für sie. . . .
So weit das Märchen von der imaginären und
reellen Komplexität. Und nun - zur Entspannung und auch zur Vorbereitung Deiner Konzentration auf die dann folgenden Gedankensprünge - erzähle ich Dir eine Geschichte aus meiner komplexen, aber realen Imagination, diesmal erlebt - erst vor
wenigen Tagen - und geeignet, Dir ein klein wenig ein Bild von unserer Umgebung zu vermitteln.
Unsere Insel hat uns noch nicht losgelassen. Insbesondere der Adlerhorst hält mich in seinem Bann gefangen. Wir haben unser Schiff mit Proviant
vollgebunkert und in die mangroven-besäumte Bucht verlegt, ankern dicht am Scheitelpunkt, unmittelbar unterhalb des Felsens. Hoch ist er ja nicht, vielleicht 100 m, aber dichter eingewachsen als Dornröschens Schloß - undurchdringlich,
selbst mit scharfer Machete keine Chance. Trotzdem unternehmen wir täglich an immer neuen Stellen Versuche, den Aufstieg zu finden - vergeblich. Nach zwei Wochen sind wir an der Rückseite des Felsens als Ausgangspunkt für den nächsten
Versuch angelangt. Doch hier ist er am steilsten, besteht größtenteils aus blankem, senkrechten Stein. Wir wagen es. Das Dickicht am Fuß bewältigen wir mit Hilfe der Machete, überwinden die ersten steilen Abschnitte dank der Bäume, die
sich dicht an die Felswände schmiegen. Zweifel überfallen mich: Kann ich dies Orchidee zumuten? Aber sie ist guter Dinge und hat Spaß am Klettern. Wir gelangen auf einen Grat, blicken dahinter in einen Einschnitt, der vollkommen bedeckt
ist mit gigantischen Palmen. Noch nirgendwo sonst haben wir solche Palmen gesehen! Ihr dichtes Blätterdach formt mächtige Kuppeln über riesigen Hallen, die in gespenstisch grünes Dämmerlicht getaucht sind. Und die Hallen sind leer - kein
Strauch, kein Kraut bedeckt den Boden, nur die Säulen der Stämme und eine dicke weiche Schicht zerfallender Palmwedel. Ganz bequem durchschreiten wir die Hallen, steigen den Einschnitt hoch - der Rest ist Kinderspiel. Wir sind oben! Eine
Anzahl schwarzer Geier mit weißer Halskrause fliegt erschreckt hoch. Grandios ist der Ausblick über die Bucht mit unserem Schiff, über das Korallenriff, die Hügel und Täler, die andere Seite der Insel mit ihren vorgelagerten Cays.
Nach diesem beglückenden, imposanten ersten Eindruck sehen wir uns auf dem Plateau selbst um. Nach einer Weile stutze ich, lasse meinen Blick ruckartig von einem Stein zum andern, von einem Baum zum andern springen, drehe mich
mehrfach um mich selbst, gehe ein paar Schritte, betrachte die Umgebung aus anderen Blickwinkeln. Ganz langsam, aber immer stärker beschleicht mich das Gefühl: Déjàvue! Ich kenne den Ort. Noch nie zuvor war ich hier oben, noch nie früher
war ich in diesem Teil der Welt - aber ich kenne diesen Ort! Was macht ihn mir so bekannt? Sind es die Felsformationen, die Bäume, die verkohlten, verfallenen Reste der Urwaldriesen, die am Rand des Plateaus liegen, die Feuerstelle in der
Mitte, das Tiergerippe daneben? Ich komme nicht darauf. Muß wohl das zufällige Übereinstimmen mit einem meiner intensiven Träume sein. Nur darüber bin ich mir sicher: es ist kein unbewußter Effekt oder Defekt meiner Empfindungswelt. Als
Arzt kenne ich solche Symptome und soviel weiß ich: meine Psyche habe ich im Griff. Auch Orchidee bestätigt mir lachend, daß ich wohl ganz o.k. sei. Wie dem auch sei, ich akzeptiere die Möglichkeit der Erinnerung an einen Traum und mache
mich daran, das Gerippe zu untersuchen. Einige Teile fehlen - Geier haben sie sicher weggeschleppt. Es muß wohl ein verirrtes Schaf gewesen sein, denn endemische Säugetiere gibt es keine auf der Insel und von Größe und Schädelform her
könnte es passen. Klar - ein männliches: in der Feuerstelle, zwischen Scherben eines Tongefäßes liegt der klägliche Rest eines Horns, mit leichter Rechtsspirale. Sicher eine englische Rasse. Wir verweilen noch eine gute Weile an dem
Ort, sind glücklich über unseren Erfolg nach so vielen vergeblichen Anläufen. Nur der beträchtlich blasende Passat stört die Stille.
Beim Gedanken an den Abstieg bekomme ich erneut Zweifel: senkrechte Wände abzusteigen - ohne
Seil - ist immer gefährlicher als aufwärts. Das Risiko ist uns doch zu groß, und wir beschließen, den Grat, der den Adlerhorst mit einem anderen, quer verlaufenden Höhenzug verbindet und weniger bewachsen scheint, entlang zu klettern, um den
lichten Kiefernwald zu erreichen, der die größeren Höhen ab ca. 300 m bedeckt. Mit Mühe zwar und kleinen Blessuren, aber vergleichsweise problemlos schaffen wir den Höhenzug. Ein freier Sattel zwischen zwei Hügeln eröffnet uns einen
unerwarteten, wunderschönen Blick in ein weites Hochtal, ringsum eingefaßt durch Hänge. Das Tal scheint kultiviert mit Gärten, Feldern und Viehweiden, die sich harmonisch in die üppige tropische Vegetation aus Palmen, großen Bäumen und
dichtem Buschwerk einfügen. Die höheren Hänge sind mit Kiefern bestanden, und wir finden tatsächlich einen bequemen Abstieg in dieses Tal, halten uns meerwärts, um keinen begehbaren Pfad weiter hinunter zu übersehen.
In der
Nähe des Talausganges, wo fünf den ganzen Kessel durchziehende Bäche zusammenfließen und ihn an einem ganz schmalen Einschnitt als Wasserfall in einen dicht bewaldeten Steilabfall hinein, zum Meer hinunter, verlassen, machen wir Halt. Von
hier haben wir einen fantastischen Überblick. Auf der einen Seite, tief unter uns, die türkisfarbene Lagune mit den vielen bunten Korallentupfern, auf der anderen dieses landschaftliche Unikum mit fächerförmig angeordneten Seitentälern und
sanften Hügeln dazwischen. Einer der Hügel - er erhebt sich aus der Mitte des Tales, bildet einen flachen Rücken und läuft in einem breiten Seitental aus - ist von Bewuchs freigehalten, fast ein gepflegter Rasen. Ein Landeplatz! Hier
könnte ein Kleinflugzeug starten und landen. Das muß ich mir genauer anschauen! Tatsächlich - eine nahezu ebene Piste, an die 250 m lang. Bei dem ständigen Passat für ein STOL- oder UL-Flugzeug kein Problem. Am Ende der Piste ist eine
Betonplatte in den Boden eingelassen, ein steinernes Kreuz daneben:
AT REST RICHARD G. WOOD B.1860 D.1934
Auch von hier haben wir einen Überblick über das gesamte Tal. In der Mitte, ganz in der Nähe der Piste machen wir, versteckt zwischen hohen Bäumen, eine Hütte aus. Rauch steigt auf, sie ist also bewohnt. Ein alter Mann kommt
den Hügel herauf. Er stützt sich auf das Kreuz. - Es ist Mr. Wood. Spicer Wood stellt er sich vor. Mit langsamer, weit ausholender Armbewegung sagt er, sich um die eigene Achse drehend: „All land, you can see from here, is my property.
People call it Puercallis“. Alle fünf Täler, alle Hügel, alle Anstiege zu den Bergkämmen, bis oben hinauf - 1,2 km², ein wahrlich großes Karo. Nein, von der kleinkarierten Sorte ist er nicht, das merken wir schnell. Auch den Adlerhorst
kennt er: „Never attempt climbing on that old holy place of the original inhabitants!“ Schließlich - es ist schon später Nachmittag - zeigt er uns den Abstieg zum Meer, reitet mit seinem Maultier voraus. Es ist ein halsbrecherischer Pfad.
Im wahrsten Sinne: auf halbem Weg passieren wir die mit einem Holzkreuz markierte Stelle, wo sein Bruder vor zwei Jahren zu Tode stürzte.
Ein paar Tage später besuchte er uns. Er kam von der anderen Seite der Insel mit seinem
Kanu. Ein-Zylinder-Diesel-Antrieb. Eine Stunde war er unterwegs und einen Riesenkorb Riesengrapefruits schüttete er uns ins Cockpit.
„You want to buy my land? I'll sell it to you!“ 80 Jahre ist er alt, will 'zurück nach Texas'
ziehen. Nein, Kleinkariertes mochte er nie. (Fortsetzung)
Jetzt will ich - ohne Systematik, ohne logische Folge und Berücksichtigung von Zusammenhängen oder Bedeutung für die physikalische Interpretation - einige
wenige der vielen interessanten Eigenschaften des Dorntorus-Verhaltens aufzählen, ganz bewußt bunt durcheinandergewürfelt. Das spätere Puzzle, das daraus zusammengesteckt werden kann, wird umso kurzweiliger werden dadurch. Und ich gebe Dir
die Chance, selbst Interpretations-Möglichkeiten zu entdecken.
- Lasse ich den Dorntorus ohne Rotation aus infinitesimal kleiner Größe auf der Linie t abrollen mit der einzigen Bedingung konstanter Abrollgeschwindigkeit (in Längeneinheiten) dann ist immer die Meridianlänge L0
= ct. Mathematisch eine Tautologie, ist dies aber für die Vorstellung wichtig. Der Torus hat einfach seine Meridianlänge L0
mit „Geschwindigkeit“ c an t abgerollt. Die Einhüllende aller Tori bei diesem Vorgang ist ein Kegel („Abrollkegel“) mit charakteristischem „Abrollwinkel“ γ an der „Abrollkegelspitze“.
- Vergleiche ich diesen Vorgang mit dem eines rotierenden Dorntorus, ist klar, daß diese Abrollinie, die ja schlaufenförmig oder spiralig über die Oberfläche führt, länger ist. Je größer ich den Wert für die Rotation wähle, desto
länger wird sie. Betrachte ich den rotierenden Torus, dessen Abrollinie gleich ist der Meridianlänge eines nicht rotierenden, stelle ich fest, daß er sich, jetzt bezogen auf seine eigenen Meridiane, bei diesem Wert noch nicht so
weit auf der Linie t abgerollt hat: seine Meridianlänge L1 ist kleiner als L0.
- Vergleiche ich die Abrollinie zweier Dorntori mit unterschiedlicher Rotationsgeschwindigkeit, ergibt sich wegen der Selbstähnlichkeit des Vorgangs bei beiden exakt die gleiche Abrollfigur, nur ist sie beim Torus mit höherer
Rotationsgeschwindigkeit entsprechend verkleinert. Die Stelle, bei der z.B. v = 1 ist, liegt bei ihm näher an der Abrollkegelspitze. Ansonsten ist seine Abrollinie ein exaktes, verkleinertes Abbild des anderen.
- Gleichgültig, wie groß ich die Ausgangswerte für wu und ro, also v, wähle, auch gleichgültig, mit welcher Torusgröße ich starte, ich erhalte bei Verkleinerung des Dorntorus bis infinitesimal kleine Größe immer dieselbe Abrollinie.
Zwar maßstäblich vergrößert oder verkleinert, aber innerhalb des Torussystems sind die Verhältnisse immer dieselben. Das nenne ich höchste Selbstähnlichkeit. Ich kann für v = 1010 wählen oder auch 10-10
, immer gibt es eine Stelle, wo v = 1 ist oder v = 1/2 oder sonst ein beliebiger Wert.
- Eine maximal ausgeprägte „Resonanz“ ist bei v = 1/2 zu finden. Diese Zahl will ich - intuitiv - als Ausgangswert für weitere Betrachtungen und künftige Berechnungen.
- Ein anderes Bild, die Rotation des ganzen Gebildes: Lasse ich einen Dorntorus mitsamt einer darauf abgebildeten Lissajous-Figur („Resonanz“) rotieren, gibt es Rotationsgeschwindigkeiten, bei der die jetzt mitrotierende
Lissajous-Figur mit der Geometrie der ursprünglichen zusammenfällt. Man denke an die stehenden Speichen der Planwagen trotz ihrer rasenden Fahrt bei der Flucht vor den Indianern. Jeder kennt diesen Stroboskopeffekt aus alten
Western.
- Die im Abschnitt 'zurück zum Dorntorus' angedeuteten Schwingungen der Torusgrößen bei Betrachtung zweier Tori und die sich ergebenden Werte für v, bei denen Stabilität eintritt, sind von besonderer Bedeutung, aber erst bei
mathematischer Ausarbeitung als tatsächlich in der Natur vorkommende Größen zu erkennen („Wechselwirkung“).
- Für die Länge der Abrollinie und damit auch für die „Wechselwirkung“ zwischen Tori unterschiedlicher Rotationsfrequenz spielt es keine Rolle, welche Richtung die Rotation hat (ob links oder rechts herum). Gleichsinnig und
gegensinnig rotierende Tori verhalten sich exakt gleich.
- Tori mit entgegengesetzter Abrollrichtung (c wird - c) „wechselwirken“ nicht miteinander, sie rollen sich nicht aneinander ab. (Es gibt Ausnahmen - z.B.: exakt spiegelbildliche Tori heben sich auf, übrig bleibt Rotation ohne
Abrollen.)
- Ultimative Übung für Abstraktion und Vorstellung: Statt der Linie t als Bezugslinie
für alle ineinander geschachtelten Dorntori kann ein beliebiger Meridian irgendeines Torus von bestimmter Größe aus dieser Packung gewählt werden. Wird dieser Meridian nun zur Geraden transformiert, d.h. der Torus unendlich groß,
verändern alle andern Dorntori entsprechend ihre Größe und sogar ihre Rotationsrichtung, wenn sie „überunendlich groß“ werden (sie stülpen quasi ihre Innenseiten nach außen und werden wieder kleiner). Diese mathematisch relativ
einfache Transformation als Bild zu sehen, ist der Schlüssel zu vielen Geheimnissen. Aber müh Dich nicht zu sehr ab, ich werde darauf zurückkommen.
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