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    DORNTORUS (1)      DORNTORUS 2

        Vorspann
        Cher Michel
        Weltbild
        Natur-Verständnis
        Engramme

      Dorntorus

        Erinnerungs-Intermezzo
        zurück zum Dorntorus
        Gedankensprünge ??
        Die Vertreibung der Leere
        Puercallis
        Gedanken-Sprünge !!
        es hagelt Katzen
        A wie Adlerhorst,wie Abrollinie und A wie Alpha
        Gedanken zur Zeit ...
        ... zur Lichtgeschwindigkeit ...
        ... zur Plankschen Konstanten ...
        ... zu Alpha, nochmal ...
        ... zum Weinberg-Winkel ...
        Pocalis Ermita S.A. - Jardin Tropical
        ... und zum Rest der (Torus-)Welt
        Epilog :  Italiener? Ettore?

     
    Das Modell erhebt einen hohen Anspruch. In erster Linie ist es eine Übung für Vorstellungskraft und Abstraktionsvermögen - kein Problem für Dich. In zweiter Linie bietet es Dir, wenn Du Dich intensiv eindenkst, eine nicht enden wollende Serie von Aha-Erlebnissen. Und schließlich verringert es den Bedarf an Beschleunigern erheblich, insofern ist es Milliarden wert! Allerdings ist die Komplexität unendlich groß - also keine Chance für die Weltformel - doch diese Vielfalt beinhaltet - vielleicht - die Möglichkeit, alle Naturkonstanten aus dem Modell abzuleiten. (Also doch die Chance?)
     
    Es gibt vielerlei Möglichkeiten, das Modell eines Raumes zu entwerfen, welches mit physikalischer Bedeutung erfüllt werden kann. Hier wähle ich eine besondere Darstellungsart der Menge der komplexen Zahlen. Sie ist hinlänglich bekannt als vollständige Menge von Zahlen innerhalb der akzeptierten reinen Mathematik und darüber hinaus von besonderer Bedeutung in der gesamten mathematischen Physik, insbesondere der Quantenphysik. Ähnlich wie im gewohnten Raum reelle Zahlen in Form jeweils einer Zahlengeraden die drei Koordinaten bilden, reelle Zahlen also die Dimensionen repräsentieren, will ich einen zunächst abstrakten Raum konstruieren, dessen Dimensionen durch komplexe Zahlen dargestellt werden. Koordinatenwerte müssen dann durch zwei Angaben festgelegt werden, entsprechend Real- und Imaginärteil. Wie im vorigen Abschnitt angeregt, soll dabei eine beliebig kleine Umgebung jedes Raumpunktes ein selbstähnliches Abbild des gesamten Raumes sein und die Dynamik dieses Raumes soll schon in jeder einzelnen Dimension enthalten sein. Das den Zahlen assoziierte Prinzip, das sie für uns „denkbar“ - vorstellbar - macht, soll also ein nach unseren Engrammen dynamisches sein. Ziel ist, die komplexen Zahlen derart zu „verkleiden“, daß sie aus ihrer Fixierung in der flachen komplexen Ebene aufsteigen, ihren selbsterzeugten Raum füllen und beleben, sich ausdehnen bis zum letzten Winkel des Universums und als reale Eigenschaften des Raumes beobachtbar werden. So irrational und kompliziert dies klingt, so handfest und einfach ist es zu realisieren:
     
    Als Vorstellungshilfe - vorerst ohne Bezug zu den komplexen Zahlen, diese kommen erst bei der mathematischen Ausarbeitung und physikalischen Deutung ins Spiel - benutze ich den dreidimensionalen Dorntorus. Diese Wahl ist einigermaßen willkürlich. Ich könnte mit gleichem Recht zum Beispiel auch eine dreidimensionale logarithmische Schnecke nehmen - ein prinzipieller Unterschied besteht nicht. Zum Umsetzen der Geometrie in Analysis wäre sie vielleicht sogar weitaus besser geeignet. Doch hierfür ist die beschränkte Kapazität meines Vorstellungsvermögens etwas hinderlich. Der Raum, den ich konstruieren will, wird also wieder ein Kompromiß sein, ein Zugeständnis an Engramme. Sich aber ständig vor Augen haltend, daß das Bild ohnehin nur Vorstellungshilfe zur Abstrahierung des Raumbegriffs und nichts anderes sonst sein soll, dürfte dies eigentlich keine wesentliche Rolle spielen.
     
    Nun zu diesem ominösen Dorntorus! Was ein Dorntorus ist, weißt Du? Nein? Nun, eben ein ganz gewöhnlicher Kringel, ein Ringwulst, allerdings ohne dieses Loch in der Mitte, er heißt deshalb auch Volltorus. Den Namen „Dorntorus“ erhält er wegen der beiden spitzen Gebilde, die beim Blick auf den Mittelpunkt von 'innerhalb' des Torus zum Vorschein kommen. Das Wichtigste daran ist eben dieser Mittelpunkt, an dem alle Wulstumfänge (Längenkreise, Meridiane) in Form der Dorne zusammenlaufen.
     

      animierte Zeichnung

     
    Die Symmetrie des Torus beinhaltet/ermöglicht zwei verschiedene, voneinander unabhängige Drehungen: einmal die Drehung um die Dorn-Symmetrieachse, die den Torus wie einen Kreisel rotieren läßt. Ich will sie künftig nur noch „Rotation“ nennen, abgekürzt „ro“. Dieses ro steht, da ja Größen wie Winkel, Winkelgeschwindigkeit und dergleichen noch nicht definiert sind, für alles, was die Rotation alleine charakterisiert. Des weiteren gibt es diese stülpende Drehung des gesamten Toruswulstes, am ehesten vergleichbar mit einem abrollenden Gummi-Kondingsbumms (natürlich ohne Loch und Lumen. Pardon, das findest Du nicht im Wörterbuch) - oder nehme ich besser einen Zigarrenrauchring? (Immer müssen irgendwelche Laster herhalten!) Dies sei jedenfalls die Abrollbewegung, Wulstumdrehung oder auch nur „Umdrehung“, abgekürzt „wu“. Wieder steht wu für alles, was die Umdrehung allein charakterisiert. Sie läßt einen markierten Punkt auf der Dorntorusoberfläche, ausgehend vom Mittelpunkt, entlang eines Wulstumfangs über den Dorn, dann über die eine 'abgeflachte Seite' zum 'Äquator' und über die andere abgeflachte Seite und den zweiten Dorn wieder zurück zum Mittelpunkt wandern. Diesen will ich übrigens „S“ nennen (S wie Symmetrie oder wie Singularität).
     
    Es fehlt noch die Torusgröße, die man z.B. durch die Länge (ein noch zu definierender Begriff!) eines Wulstumfangs festlegen könnte. Nennen wir sie mal „la“ (nebenbei: die Dorntorusoberfläche ist dann la², π kommt nicht vor). Die Winkelgeschwindigkeiten von Wulstumdrehung und Rotation sind zwar grundsätzlich unabhängig voneinander, aber es reicht ohnehin für alle Zwecke, nur deren Verhältnis „v“ zu kennen, definiert als   v = wu : ro,  die absoluten Größen interessieren nicht, und wir können dadurch auch auf Einheiten für Winkel und Winkelgeschwindigkeit verzichten. Unabhängig davon, welche Vorstellung wir uns von ro und wu machen, können wir v bereits einen festen Wert zuordnen (Unbestimmtheiten derselben Art heben sich beim Verhältnis weg).
     
    Wir haben also die noch etwas schwammigen Begriffe ro, wu und la sowie die schon genauer gefaßte Größe v, machen uns aber noch keine Gedanken über physikalische Interpretation. Vielmehr stellen wir uns jetzt den Dorntorus in Aktion vor: er hat eine bestimmte Größe, rotiert um seine Achse durch die Dorne und macht die wulstförmige Umdrehung, wobei Rotation und Umdrehung in bestimmtem Verhältnis zueinander stehen. Ich denke mir jetzt einen Bleistift dazu, den ich irgendwo (nur nicht in S) auf die Dorntorusoberfläche halte und den Torus darunter weiter rotieren und abrollen lasse. Macht er nur die Umdrehung ohne Rotation, zeichnet der Bleistift einen einzigen und immer denselben „Längenkreis“, umgekehrt bei Rotation ohne Umdrehung einen einzigen und immer denselben „Breitenkreis“, je nachdem, wo ich den Bleistift aufgesetzt habe. Entsprechend erhalte ich bei Variation des Verhältnisses   v = wu : ro   ein bestimmtes Muster auf der Dorntorus-Oberfläche.
     
    Wie kann ich nun den Torus dazu bringen, sich irgendwie gesetzmäßig zu verhalten und nicht durch beliebige Veränderung von v ein chaotisches Muster zu produzieren? Was wäre die einfachste denkbare Vorschrift, ohne neue Größen und Parameter einführen zu müssen? Ich komme nur auf folgende: ich halte die Rotation konstant und reduziere die gesuchte Vorschrift auf die Wulstumdrehung. Zum schnelleren Verständnis, was ich meine, benutze ich jetzt eine saloppe Vorgehensweise, die leicht als solche unbemerkt bleibt, die aber später, wenn klar ist, worauf es ankommt, schnell wieder korrigiert werden kann: Ich versuche, die Umdrehung zu messen und zwar nicht über den Winkel, sondern über die Längenkreise, die ja bei der Umdrehung auf der einen Seite des Torus aus S herausquellen und auf der anderen in den Dorn hineinlaufen und wieder in S verschwinden. Ich nehme an, ich habe eine Methode, dieses Herausquellen in Längen-Einheiten messen zu können und fordere, die „Geschwindigkeit“ des Herausquellens (ich nenne sie ab jetzt „Abrollgeschwindigkeit“) sei konstant. Wiederum interessiert die „absolute Geschwindigkeit“ nicht, nur konstant und ungleich Null soll sie sein. Ich habe also sowohl ro als auch wu konstant gewählt, wobei erstere in „Winkeln“, letztere in „Längen“ (wichtig!) gemessen werden soll. Es folgt sofort, daß ein großer Torus langsamer dreht (jetzt in „Winkel-Geschwindigkeit“) als ein kleiner.
     
    Zum Klarmachen setze ich die Rotation Null und betrachte einen großen Torus, der die Wulstumdrehung durchführt. Jetzt lasse ich ihn auf halbe Größe schrumpfen und stelle fest, daß er doppelt so schnell dreht. Denn, um bei der kleinen Größe die gleiche Länge herausquellen zu lassen (Forderung nach konstanter Abrollgeschwindigkeit, die ja in Längeneinheiten gemessen wird!), muß er einfach schneller drehen (in Winkeln). Schneller drehen bedeutet großes wu, also: großer Torus - kleines wu, kleiner Torus - großes wu. Ob das immer genau umgekehrte Proportionalität ist, also auch für ro ungleich Null (dann als v!), braucht vorerst nicht zu interessieren. Ich werde darauf zurückkommen. Soweit ist das Bild, denke ich, klar und anschaulich (bis auf erwähnte kleine logische Unzulänglichkeit, die, wie gesagt, u.U. auch übersehen wird, auf jeden Fall aber wieder deduktiv auszumerzen ist. Für das bloße Veranschaulichen soll die Vorgehensweise genügen).
     
    Ist dieses Verhalten des Torus einmal erkannt, kann man ihn ohne weiteres auch noch rotieren lassen, während er seine Größe ändert. Da ro konstant sein soll, gibt es eine ausgezeichnete Torusgröße, bei der die Winkelgeschwindigkeit der Wulstumdrehung (was immer das auch sein mag, sie muß nur auf die gleiche Art definiert sein wie die Rotationsgeschwindigkeit) gleich ro ist. Diese Größe will ich T nennen (T wie Torus) und das diesem Torus zugeordnete (konstante) ro soll E heißen (E wie ... - nein, für physikalische Interpretation ist es immer noch zu früh). Diese beiden Angaben, E und T, reichen zur vollständigen Beschreibung des Torus inklusive seiner kompliziert erscheinenden Dynamik aus. (Oder vielleicht sogar E allein? - Warten wir's ab!)
     
    Jetzt betrachte ich wieder den rotierenden und sich drehenden („abrollenden“) Torus, halte wie vorhin den imaginären Bleistift darauf, am besten eine Winzigkeit neben dem Punkt S, und sehe mir die Linie an, die der Stift malt. Diese „Abroll-Linie“ ist der Witz der ganzen Konstruktion und aus ihrem Verhalten werden noch die erstaunlichsten Gesetzmäßigkeiten folgen. Bei v = 1 sehe ich eine geschlossene Schlaufe, die nach einer Umdrehung und einer Rotation wieder in sich selbst übergeht, bei v = 2 sind es zwei Schlaufen nach einer Rotation, bei v = 3 drei, v < 1 ergibt eine Spirale, die den Punkt S in Richtung eines bestimmten Längenkreises verläßt, sich dann um den Dorn herumwickelt, bis zum Äquator immer größere Winkel mit den Längenkreisen, die sie schneidet, einschließt und dann in gleicher, umgekehrter Weise auf der anderen Seite des Torus zum Mittelpunkt zurückkehrt. Man stellt schnell fest, daß ganzzahlige Werte (v = n) n Schlaufen pro 1 Rotation machen, Kehrwerte von ganzen Zahlen ergeben Spiralen, die, wie beschrieben, nach einer Umdrehung und n Rotationen in sich selbst übergehen, bei rationalen Verhältnissen (v = z/n) sieht man z Schlaufen oder Spiralen nach z Umdrehungen und n Rotationen. Irrationale Zahlen oder - wenn man die endliche Strichstärke des Stifts berücksichtigt - auch schon rationale Zahlen mit großen Werten von z und/oder n lassen die ganze Torusoberfläche bedecken. Natürlich entstehen diese Linien analog den Lissajous-Figuren bei der Überlagerung harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz in verschiedene Richtungen. Ich will sie deshalb auch so nennen: Lissajous-Figuren auf der Dorntorus-Oberfläche, die einzelnen Schlaufen pro Umdrehung nenne ich „Blätter“, das ganze Gebilde dann „n-blättrige Lissajous-Figur“.
     
    Meine eingangs erwähnten physikalischen Interpretationen stelle ich, wie gesagt, immer noch hintan, denn es lohnt sich, vorher die Geometrie und Dynamik des einzelnen Dorntorus auf sich wirken zu lassen. Das bisher einzige Prinzip „konstante Abrollgeschwindigkeit (Längeneinheit) und konstante Rotationsgeschwindigkeit (Winkel)“ macht schon genug Komplexität, um sich erst mal damit zu beschäftigen. Es wird, obwohl keine neuen Prinzipien hinzukommen, noch kompliziert genug, wenn man zwei, mehrere oder gar sehr viele Tori mit gemeinsamem Punkt S untersucht und dabei erkennt, wie die Lissajous-Figuren ihr 'Eigenleben' entwickeln. Die Komplexität dieses Eigenlebens geht schnell gegen Unendlich (bleibt aber auf wunderbare Weise einfach und durchschaubar). Ich empfehle deshalb - vorausgesetzt, Du interessierst Dich überhaupt für die Sache und hast etwas Zeit und genügend Neugierde, die Anstrengung aufzubringen (es lohnt sich!) -, erst mal bei einem einzelnen Torus zu bleiben und Dich intensiv in die geschilderte Dynamik einzudenken.
     
    Ungemein hilfreich ist natürlich ein Computerprogramm, das den Torus, die Abrollinie, sonstige hilfreiche Kurven und torus-assoziierte Gebilde zeichnet. Experte Mike soll hierzu QBasic aufrufen - nehme an, daß er darüber verfügt - und mein Programm ROTATION.BAS (90 KByte) von der Diskette laden. Es ist selbsterklärend, hat aber auch eine Hilfefunktion. Er sollte allerdings unbedingt erst eine schreibgeschützte Sicherungskopie machen, denn es ist verletzlicher, uncompilierter Quellcode. Man kann damit nicht nur Dorntori und die Abrollinien, sondern jeden beliebigen Rotationskörper in beliebiger Perspektive und Ausschnittsvergrößerung zeichnen, Gradnetze, Kurven und andere Gebilde auf die Oberfläche projizieren sowie dynamische Vorgänge anschaulich darstellen.
     
    Außerdem bietet es sich an, Iterationsverfahren mit Hilfe der Dorntori, die ja, wie ich noch erläutern werde, komplexe Zahlen darstellen, zu formulieren und fraktale Figuren im Torusraum zu erzeugen. Man erlebt Überraschungen, und physikalische Interpretationen drängen sich auf! Neulich habe ich einen Modus (Unterprogramm: Sub Boson) für selbständiges Suchen nach Lissajous-Figuren hinzugefügt und damit ein wenig herumgespielt. Die gezeichneten Bilder sind ebenfalls eine enorme Hilfe bei zunächst relativ willkürlichen Interpretationsversuchen. So gibt es oft sehr schwache, kaum erkenntliche Dichtezunahmen der Abrollinien bei Annäherung an Werte für v, bei denen Lissajous-Figuren entstehen, aber auch - bei manchen anderen Werten - ganz scharf ausgeprägte Maxima, sodaß ich nicht umhin kann, solche Werte als „Resonanzen“ zu bezeichnen. Werden die Start- und Einfang-Parameter für Resonanzen mit Bedacht gewählt, wird eigentlich klar, wie zu interpretieren ist. Je genauer man hinschaut, desto komplexer - und klarer! - wird es. Doch davon später.

       
       
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    Zwar sehe ich, wie weitreichend und universell die Interpretations-Möglichkeiten sind, aber selbst wenn meine Tori zu nichts anderem taugten (sie tun's jedoch!), mir haben sie bereits eine stattliche Anzahl Augenblicke intensiven Glückerlebens beschert. Das Entdecken von Fragestellungen und Wiederfinden derselben Probleme in den Strukturen der eigenen Gedankenwelt, die fesselnde Suche nach Lösungswegen, plötzliches Erkennen der Zusammenhänge, Erfolge nach langer, schwieriger Programmierarbeit (gemessen an meinen bescheidenen Kenntnissen und Fertigkeiten), Befriedigung über das Bewältigen selbstgestellter Aufgaben - mir bedeutet dies Ausgefülltsein und Erfüllung intensiver früher Träume. Eines der Geheimnisse echter Zufriedenheit ist, seine Jugendträume nie aus den Augen zu verlieren, sie als stärkste Triebkraft der Lebensgestaltung beizubehalten. Entstanden aus Prägungen, die einen ein ganzes Leben lang begleiten und beschränkt auf in jungen Jahren Vorstellbares, hat man mit seinen in der Regel zunehmenden Möglichkeiten die Chance der Realisierung. Träume und Wünsche in mir selbst suchen, nicht künstlich konstruierten und aufgezwungenen Zielen nachjagen, war und ist für mich bewährtes Rezept. Aber wem sage ich das?!
     
    Ein klein wenig zu weit hatte ich es getrieben, indem ich als junger Student mit grobem Besen alle entdeckten störenden Über-Ichs wegfegte. Auf der Strecke blieben natürlich auch die nützlichen Tugenden Ehrgeiz, Opportunismus und Durchsetzungswillen, wodurch mir schlagartig die angestrebte wissenschaftliche Laufbahn in Theoretischer Physik verbaut war. Viele Jahre hegte ich Trotz gegen „meine“ Physik. Sie hatte meine hehre, innige Zuneigung nicht erwidert, hatte sich eingelassen mit widerlichen, ungehobelten Theoriemonstern, sich eitel mit ekligem Luxus prostituiert, unkritisch mit wertlosem Tand behängen lassen. Alle sonnten sich in ihrer schillernden Ausstrahlung, aber ich mochte sie so nicht, konnte die Bordells geiler Denkperversionen nicht ertragen. Ich war wohl in die falschen Häuser geraten damals, hatte keinen Zutritt zu den noblen Etablissements erlauchterer Kunden. (Dies gibt selbstverständlich meine damalige Stimmung wieder - heute sehe ich die Dinge anders, bin ich gemäßigter, habe selbst Gefallen gefunden an gewissen Perversionen und achte meine Mitmenschen!) - Ich packte andere Träume an, lebte diese aus, hakte einen nach dem anderen ab - und jeder bescherte mir Glücksgefühle. Ganz besonders intensiv die Fliegerei.
     
    Sonntags-Kaffee-Ausflüge mochte ich nicht. Gern flog ich allein, tat es häufig, suchte dann die Herausforderung, das Prickeln, das innige Verschmelzen mit dem technischen Gerät. Das waren meine Flügel, die Instrumente meine Sinne. Mir den Weg zu erfühlen, in marginalem Wetter, jenseits jeder Vernunft und Vorschrift, zwischen Bergen und Wolken, in Regen, Dunst und Dunkelheit, oftmals das erotisierende Gefühl spürend, wie es der berühmtesten aller Katzen anstünde, doch immer ohne Angst, immer mit der Sicherheit: „du kannst es!“ - das waren höchste Glücksmomente. Und ich erlebte sie allein. (Stets waren die Alpen im Weg auf dem Flug von und nach Korsika. - Selbstverständlich wählte ich für Passagiere den entspannten Instrumentenflug über sicherem Terrain ohne Bewegung und Dramatik.)
     
    Auch banalere Dinge waren Quelle des Glücks: eine genußvoll durchgeführte handwerkliche Arbeit, die stille Vorbereitung auf eine schwierige Prüfung, eine Tätigkeit als Arzt - im Hintergrund, ohne die dankbare Rückkopplung von Patienten, Reisen allein - allein in der fremden Großstadt, allein im australischen Outback, allein auf dem Mt. Beerwah, auf dem Meer, dem Ozean, ... , allein, ohne Dokumentation eigener Leistung. Kennst Du das Gefühl: du bist allein auf der Welt, gehst einen einsamen Weg, von dem du weißt, daß er dich nirgendwo hinführt, und dennoch drängt es dich weiterzugehen? - Es ist ein fantastisches Gefühl! Es gibt dir grenzenlose Freiheit! Und es schützt dich zuverlässig vor Enttäuschungen. Aber mich machte es treulos. Treulos gegen meine Physik. Nur manchmal, eher verstohlen, liebäugelte ich mit diesem oder jenem Teil von ihr, fühlte mich wie ein Voyeur, wenn ich in Bibliotheken nach den Praktiken anderer Liebhaber schielte.
     
    Doch dann holte sie mich ein! Ja, nicht ich kehrte reumütig zurück, sie, die Physik überfiel mich in einer Blitzattacke, fing mich ein, hielt mich fest! Im Golf von Neapel war es. Das Geschoß traf mich mit solcher Wucht an einer wohl empfindlichen Stelle, daß ich erst erschreckt zusammenzuckte, dann gelähmt - unfähig mich zu wehren - fühlte, wie es sich wirbelnd über mich stülpte, sich eng anschmiegte an offenliegende, aber beiseite geschobene Gedanken und Bilder, um schließlich ruckartig und fühlbar in irgendwelchen Hirnwindungen steckenzubleiben. Mein Kopf drohte zu zerbersten, das Herz begann zu rasen, ich wurde hellwach. Binnen Sekunden wandelte sich der Schreck in ein unbeschreibliches Glücksgefühl. Nie zuvor und nie mehr später habe ich es in solcher Intensität, als so starke körperliche Empfindung, erlebt.
     
    Sie hatte einen Dorntorus nach mir geschleudert. - Ohne daß ich dies in dem Augenblick wissentlich provoziert hätte. Einfach aus blauem Himmel. - Nein, blau war der Himmel nicht. Es war Nacht. Wir kamen von Süden mit unserem Boot, hatten gerade Capri passiert und steuerten auf Ischia zu. Ich hatte überhaupt keine erinnerlichen Gedanken, war einfach hundemüde, kurz vor dem Einnicken. Das Schiff steuerte sich selbst und das Ziel war noch zwei Tage weit entfernt: unsere Insel - Korsika.

       
       
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    Der Überfall im Golf von Neapel kam vielleicht doch nicht so ganz von ungefähr. Die Tage zuvor war ich nach langer Abstinenz der Versuchung erlegen und hatte mich zum Lesen eines Buches mit physikalischem Inhalt hinreissen lassen. Es war der 'Dialog mit der Natur' von Ilya Prigogine und Isabelle Stengers. Mit der ganzen Skepsis, die ich aufbringen konnte, aber guten Willens, hatte ich mir zu den dort auftauchenden Begriffen dynamische Systeme, Gleich- und Ungleichgewicht, Dissipation, intrinsische Zeit, insbesondere Zeit und Entropie als Operatoren, intensive eigene Gedanken gemacht, konnte aber keine Ideen hinzufügen. Vielleicht hatte ich mich auch nur im Unterbewußten beim Lesen des Namens Kolmogoroff dunkel an die KAM-Theorie erinnert (Kolmogoroff, Arnold, Moser), in der bei der Beschreibung nicht-integrabler ergodischer Systeme ein Torus vorkommt (kein Dorntorus!). Wie dem auch sei, das Bild war eingerastet und hatte unmittelbar eine Vielzahl von Assoziationen ausgelöst. Könnte ich doch die Kettenreaktion meiner damaligen Vorstellungen nachvollziehen! Ich müßte nicht so nach Worten ringen. Das ist mein altes, behinderndes Problem: es fällt mir schwer, in Worten zu denken, und beim Schreiben komme ich nur in ganz kleinen Schritten voran, will ich Gedankensprünge vermeiden. Aber es hilft nichts - will ich die Sache weiterverfolgen, muß ich den nächsten kleinen Schritt gehen. Zuvor eine kurze Rekapitulation in etwas anderen Worten:
     
    Wir stellen uns noch einmal einen Dorntorus beliebiger Größe mit Mittelpunkt S vor. In S vereinigen sich alle Wulstumfänge (Meridiane). Wie die Radien eines Kreises oder einer Kugel alle im Mittelpunkt entspringen, so ist auch hier der Punkt S Ursprung aller Meridiane. Unterschied zu Kreis oder Kugel ist, daß sich alle Meridiane im Punkt S berühren, sie sind hier also sozusagen „parallel“. Außerdem gibt es zwei „Richtungen“, von S aus gesehen, in die sich die Meridiane auffächern. Wir stellen uns jetzt wieder vor, die Meridiane quellen aus dem Punkt S hervor wie z.B. dünne Kunstfasern aus einer Spinndüse, wandern über die Torusoberfläche hinweg und sammeln sich auf der anderen Seite von S, wieder zu einem Punkt konvergiert. Der gesamte Torus führt also seine wulstförmige Drehbewegung aus. Solange man nur diese Wulst- oder Abrollbewegung betrachtet, sind alle Meridiane gleichberechtigt, sie sind ununterscheidbar, es gibt keinen Nullmeridian, keine „Winkel-Subkoordinate“ und keine Drehung des Torus um seine Symmetrieachse.
     
    Zur Untersuchung der geometrischen Verhältnisse reicht demgemäß ein Querschnitt durch S: Die Abrollgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit, mit der die Meridiane aus S hervorquellen nenne ich jetzt „c“. Sie soll konstant sein, auch nicht abhängig von der Torusgröße, was immer das sei. Sie kann beliebig groß oder klein gewählt werden, völlig willkürlich, auf nichts anderes bezogen, nur konstant und ungleich Null soll sie sein. Sie hat demzufolge keine Maßeinheit. Sobald sie mit einem Wert versehen ist - sinnvollerweise „1“ - kann man dem Torus eine „Größe“ zuordnen. Zuvor war ja wegen der Selbstähnlichket der Tori ein Begriff Größe gar nicht definiert, gar nicht definierbar! Jetzt aber hat der Torus z.B. die Größe „1“, wenn seine Meridianlänge la = c ist. Mit diesem von Null verschiedenen Wert für c verliert das Gebilde „Dorntorus“ seine Skaleninvarianz. Diese bezieht sich nämlich nicht mehr auf die Dynamik: Kleine Tori rollen, wie wir gesehen haben, schneller ab als große, in Winkeleinheiten der Wulstumdrehung gemessen. Diese Asymmetrie liefert also eine natürliche Einheit für die Längenmessung. Sie wird auf eine Drehung in einem abstrakten Raum bezogen. Da la jetzt genauer zu fassen ist, taufe ich die Meridianlänge um in „L“.
     
    Bequemlichkeitshalber führe ich einen Parameter ein für diese Drehung, nämlich zusätzlich zu den Meridianen im Zentrum der „Spinndüse“ S eine Linie, die nicht der Oberfläche des Torus folgt, sondern gestreckt bleibt und rein euklidisch-geometrisch die Symmetrieachse des Ganzen darstellt (wenn Du so willst: die Seele des gesponnenen Fadens). Ich will die Hilfslinie „t“ nennen. Die Drehbewegung des Toruswulstes kann dann als Abrollen auf dieser Linie angesehen werden, ähnlich wie das Abrollen eines Jojo an seinem Faden. Ich führe t nur ein, um die Ausdehnung des Torus in dem abstrakten, nicht vorstellbaren Raum, gar nicht benutzen zu müssen. Zur Vorstellung der Abrollbewegung reicht eine ganz kleine Umgebung von S, in der nur das Auseinanderstreben der Meridiane schon erkennbar ist, völlig aus. Wie der Torus 'weiter draußen' aussieht, braucht eigentlich gar nicht zu interessieren. Die Linie t quillt wie die Meridiane mit der Geschwindigkeit c aus S hervor, und die Drehgeschwindigkeit kann, sobald ein Drehwinkel „φ“ definiert ist, als dφ/dt auf t bezogen werden. In jeder Phase der Drehung rollt der Torus jeweils alle seine Meridiane auf der Linie t ab. Der Einheitstorus mit Meridianlänge L=c legt die Einheit Δt=1 auf t fest. So weit so einfach. Zeit für den nächsten Schritt:
     
    Sehr viel komplizierter wird das Ganze auch nicht, wenn wir uns einen Punkt S als Mittelpunkt mehrerer verschieden großer Tori vorstellen. Diese sind also alle ineinander geschachtelt und rollen sich nicht nur auf der Linie t ab, sondern gleichzeitig auch aneinander, den Punkt S immer beibehaltend. Falls die Vorstellung etwas schwer fällt, nimm statt Tori dünnwandige Glaskugeln zu Hilfe: eine große Kugel enthalte eine kleinere, die - z.B. im Schwerefeld befindlich - am „Grund“ der großen liegt. Die kleine Kugel enthalte wiederum eine noch kleinere, die „unten“ in der jetzt mittelgroßen liegt. Auf diese Weise kann man viele verschieden große Kugeln „ineinander schachteln“, eine kleine Kugel immer innerhalb der nächst größeren. Versetzt man die größte Kugel in eine Drehbewegung um eine horizontale Achse, so drehen sich die in ihr enthaltenen ebenfalls mit und zwar mit gleicher Drehrichtung und gleicher Abrollgeschwindigkeit (in Längeneinheiten der Meridiane gemessen) aber um so größerer Winkelgeschwindigkeit, je kleiner die Kugeln sind. Dieses Bild läßt sich leicht auf die ineinander geschachtelten Dorntori übertragen: Alle rollen sich mit gleicher Geschwindigkeit auf der Linie t und aneinander ab, kleinere den nächst größeren von innen berührend. Die Mittelpunkte bleiben alle im Punkt S vereint, nur die Winkelgeschwindigkeit der Wulstumdrehung ist um so größer, je kleiner der Torus ist. Geht die Torusgröße gegen Null, geht die Abroll-Winkelgeschwindigkeit gegen unendlich und umgekehrt.
     
    Strapaziert wird die Vorstellungskraft - hier deute ich nur das Verfahren an -, wenn wir jetzt die Tori noch die Rotation durchführen lassen. Zwar fällt es nicht schwer, zusätzlich zur Abrollbewegung die Rotation um die Symmetrieachse anzunehmen - die Torusform impliziert dies ja geradezu -, doch die Kombination beider Drehungen ist nicht mehr ganz so trivial. Zur Veranschaulichung haben wir an beliebiger Stelle auf der Torusoberfläche den Markierungsstift aufgesetzt, unter dem der Torus seine Drehbewegungen ausführt. Der Stift ist also „fest“, der Torus rotiere und rolle sich simultan ab. Je nach Verhältnis Abroll- zu Rotationsgeschwindigkeit - die schon bekannte Größe v - wird sich, wie gezeigt, eine schlaufenförmige oder spiralige Linie abzeichnen. Die Länge „A“ dieser Linie (A wie Abroll...), bezogen auf die zurückgelegte Abrollstrecke auf t, hängt ab von der Rotationsgeschwindigkeit und der Torusgröße. So weit läßt sich alles relativ leicht geometrisch nachvollziehen, ich werde dies und folgendes aber weiter unten noch ausführlicher diskutieren. Schwieriger wird es, obwohl wir den euklidischen Raum der Vorstellungshilfe nicht verlassen, wenn wir die Abrollinie nicht auf t beziehen, sondern auf die Abrollinie eines anderen Torus. Wir untersuchen also, wie zwei Tori unterschiedlicher - aber voraussetzungsgemäß jeweils konstanter - Rotationsgeschwindigkeit sich aneinander abrollen. Den Markierungsstift von vorhin zu Hilfe nehmend, müssen wir ihn in diesem Fall in unmittelbarer Nähe von S ansetzen, damit er simultan beide Abrollinien zeichnet. Beide verlaufen zunächst „parallel“ zu den Meridianen und die Längen nehmen wegen gleicher Abrollgeschwindigkeit kontinuierlich um denselben Betrag zu. Rechnet man aber die Längen der Schlaufen oder Spiralen aus, erhält man unterschiedliche Werte! Dies bedeutet: sollen die Abrollinien, auf denen sich zwei Tori aneinander abrollen, gleich lang sein, müssen sich die Torusgrößen während des Abrollens verändern (Rotations- und Abrollgeschwindigkeiten sind ja konstant!).
     
    Mit Hilfe eines einfachen Computerprogramms, das die jeweils aufsummierten Längen A1 und A2 der beiden Abrollinien nach jeder differentiellen Drehung vergleicht, gleichsetzt, die Torusgrößen L1 und L2 entsprechend anpaßt und diese Veränderungen sichtbar macht, untersuchen wir das Verhalten der beiden Tori - sozusagen ihre „Wechselwirkung“. Wir sehen erstaunliches! Bei beliebig gewählten Ausgangswerten für Größe und Rotation der Tori verhalten sich diese völlig chaotisch. Ein Bewegungsmuster ist zunächst nicht ersichtlich. Mal scheinen sie um einen bestimmten Wert herum zu pendeln, um dann plötzlich aus scheinbarer Stabilität heraus auf winzige Größe zu schrumpfen oder sich riesig aufzublähen. Ein andermal, bei Wahl anderer Ausgangsparameter, divergieren die Torusgrößen von vornherein sehr schnell oder das Anpassen der Größen, um die Abrollinien gleichzusetzen, ist erst gar nicht möglich. Es gibt allerdings diskrete Kombinationen von Werten für Größenverhältnisse und Rotationsgeschwindigkeiten, bei denen sich ein stabiler Zustand herausbildet, oftmals erst nach sehr langer Rechenzeit des Computers erkennbar. Zwar habe ich die Rolle des Rundungsfehlers bei den zigtausend oder -Millionen Rechenschritten noch nicht ausreichend untersucht, will also keine voreiligen Schlüsse ziehen und sehe dieses Verhalten noch nicht als eindeutig belegtes Phänomen an, doch bestehende Assoziationen drängen Interpretationen mit Macht auf!  
     
     
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