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DORNTORUS (1)
DORNTORUS 2
Zunächst möchte ich auf die Katze Nr. 1, sozusagen die Urmutter aller weiteren, etwas näher eingehen. Wir haben uns also mit der Zeit
auseinanderzusetzen. Damit liegen wir im Trend, denn dies ist ja seit Jahren ziemlich in Mode, und die Vielfalt der Meinungen und Zitierungen der größten Denker haben bereits eine erhebliche Konfusion geschaffen. Wenn ich neue
Bekanntschaften schließe und erzähle, ich sei Arzt, hat jeder plötzlich irgendwo irgendein störendes Leiden. Erwähne ich aber, ich sei Physiker, dann ist die häufigste Bemerkung: „Was ist eigentlich Zeit? Die Frage beschäftigt mich heftig,
aber ich weiß keine Antwort. Hast Du eine Vorstellung?“ Zugegeben - es ist kein repräsentativer Querschnitt der Bevölkerung. Weitab von den Charter-Revieren sind es Langzeit-Segler/Weltumsegler, die wir treffen, und die „haben ja die
Zeit“, sich eben darüber Gedanken zu machen. In der Regel sind die Leute - berechtigterweise - frustriert von den in populärwissenschaftlichen Veröffentlichungen (auch namhafter Autoren) nachzulesenden Erklärungen und mit meinen
(namenlosen) diesbezüglichen Gedanken stoße ich - verständlicherweise - ebenfalls auf Unverständnis. Sinngemäß bemerke ich hierzu:
„Zeit ist keine physikalische Grundgröße. Sie ist ein Parameter, eingeführt und benutzt
zur einfacheren Beschreibung physikalischer Vorgänge. Die erlebte Zeit ist pure Einbildung unseres Bewußtseins, eine Fehlinterpretation unserer Sinneswahrnehmungen. Für die Funktion der Welt brauchen wir die Zeit nicht.“
Auch
wenn die Thermodynamik irreversibler Prozesse, Deutungen der Quantentheorie (z.B. die irreversible Reduktion des Quantenzustands zum 'Zeitpunkt' der Messung) und die Beschreibung instabiler Bewegungen nicht ohne die Zeit und deren
Richtung auszukommen scheinen, ich bin sicher und bleibe dabei: Zeit ist redundant bei der Naturbeschreibung. Alles, was nur durch die Existenz einer eigenen Entität Zeit erklärbar scheint, ist im komplexen Verhalten der Dorntori bereits
enthalten. Und dieses Verhalten ist unabhängig von der zusätzlich eingeführten Hilfslinie t. Ein sehr, sehr großer Dorntorus, der sich beim Punkt S als sehr, sehr dünne, rotierende Röhre (mit trichterförmiger Öffnung ins Unendliche)
manifestiert, tut dieselben Dienste. Eine solche 'Ersatzzeit' unterscheidet sich in keiner Weise von den kleineren Tori, mit denen wir Wechselwirkungen und ein Modell der realen Welt konstruieren werden. Sie rollt sich wie alle anderen
Tori im Punkt S ab. Zeit - so man sie doch benutzt - fließt nicht, sie rollt ab!
Die in der ultimativen Übung (Gedankensprung 10) angesprochene mathematische Transformation macht aus jedem
Dorntorus einen, der die Zeit - die Ersatzzeit - darstellen kann. Und die fantastische Möglichkeit, im Punkt S von einem Torus zum anderen, von einem Meridian zum andern zu springen, eröffnet ein ganzes Kino voller Bilder, die auch intrinsische
(lokale) Zeiten plastisch anschaulich machen. Nur - ohne das immer wieder anzumahnende Eindenken in das Modell funktioniert es nicht. Reine, abstrakte Mathematik allein ist wenig hilfreich. Wir brauchen zusätzlich das Denkmodell, mit dessen
Hilfe Assoziationen entstehen, die für den mathematischen Ansatz notwendig sind und die uns in die Lage versetzen, Eigenschaften der Mathematik - hier des Dorntorus-Verhaltens - zu interpretieren und mit physikalischer Bedeutung zu versehen.
Wer zu folgenden Gedanken schon die passenden Assoziationen hat, wird mit einer ganzen Serie von Aha-Erlebnissen belohnt:
Nehme ich die sehr großen Tori, also auch die unendlich großen, die bei S identisch sind mit der Hilfslinie t, einfach weg, ändert sich nichts wesentliches am Verhalten der übrigbleibenden Tori. Gelänge es aber, über welchen
Mechanismus auch immer, den unendlich dünnen Faden im Mittelpunkt des Torussystems durchzuschneiden - die ganze (Torus-)Welt wäre verschwunden. Unwiderruflich. Ohne Aufsehen, ohne Big Crunch. Mit anderen Worten: Um die Zeit anzuhalten,
genügt es nicht, nur den Parameter zu entfernen. Ich muß dazu den ganzen Inhalt der Welt entfernen. Und ich habe keine Chance, die Zeit genau am Haltepunkt weiterlaufen zu lassen. Ich muß wieder Ewigkeiten warten, bis die Leere, die sofort
den Platz einnimmt, sich beim Auf- und Abspulen ihrer imaginären Zahlen möglicherweise ein weiteres mal verhaspelt.
Und jetzt ein wichtiger Punkt: Drehe ich die Abrollrichtung global um - die ursprüngliche Auswahl war ja
willkürlich -, ändert sich am Verhalten der Tori und ihrer Abrollinien gar nichts
! Der einzige Effekt - globales Umklappen der Chiralität bzw. Parität - bleibt unbemerkt. Alle Meßgeräte klappen ja mit um. (Klammheimlich nehme ich vorweg, daß Rotation u.a. auch mit Spin zu assoziieren ist.)
Hier tritt zum ersten Mal deutlich die Nichtlokalität des Modells zutage. Nur lokales
Umdrehen der Abrollrichtung, also nur für einzelne oder eine bestimmte Auswahl von Tori, läßt diese aus dem Gesamtsystem aller aneinander abrollenden Tori völlig verschwinden. Sie sind jetzt Teil der überall koexistierenden, aber nicht
wechselwirkenden Antiwelt (Spezialfälle klammere ich mal aus. - Und die zahlreich auftauchenden Katzen numeriere ich im übrigen nicht mehr durch).
Man sieht: Zeitumkehr ist im Dorntorus-Modell etwas grundlegend anderes als die Umkehr des klassischen Geschwindigkeitsvektors bei Bewegungen und auch etwas grundlegend anderes als die Umkehr des Zeitpfeils bei irreversiblen
Prozessen - seien diese thermodynamisch oder quantenmechanisch. Die Irreversibilität ist dem Abrollen der Tori inhärent! Irreversibilität ist der Normalfall, alles andere sind makroskopische Spezialfälle! Man hat es beim Übergang von der
klassischen - auch relativistischen - Physik zur Physik irreversibler Vorgänge nicht mit dem Verlust der geliebten Reversibilität zu tun - sie war ja ursprünglich Vater der Idee von einer zeitlosen Welt -, sondern mit der Entdeckung eines
übergeordneten
Prinzips 'Irreversibilität'. Und unser Weg dieser Entdeckung läßt die Welt weiterhin zeitlos sein! Auch Entropie rettet nicht die Zeit und deren Richtung. Sie ist Ausdruck und redundante Beschreibung des allgegenwärtigen Prinzips Irreversibilität,
wird zum Verständnis der Dinge also ziemlich überflüssig - weit davon entfernt, grundlegende physikalische Größe zu sein.
Zugegeben - mit ihrer Hilfe läßt sich Thermodynamik sehr elegant formulieren - die Schönheit dieses Formalismus will ich auch gar nicht schmälern -, aber als physikalische Größe wird Entropie manchmal etwas - fast
mystifizierend - überbewertet. Ich konnte sie nie sonderlich leiden. In meinem Weltbild aus 'reinen' Eigenschaften hatte sie einfach keinen Platz an so vorderer Stelle. Jetzt ist es mir eine besondere Genugtuung, ihre Bedeutung wie einen
häßlichen Käfer mit dem Daumen auf der Schreibtischplatte zu zerquetschen. Entropie legt nicht mehr den Zeitpfeil fest, denn in der Toruswelt nimmt sie auch bei rückwärts laufender Zeit zu.
Auch Probleme mit Kausalitäten, die
ja eng mit dem Zeitpfeil zusammenhängen, lösen sich sang- und klanglos in Wohlgefallen auf: rückwärts laufende Zeit ändert nichts an Wechselwirkungen, Kausalitäten bleiben also auch bei Zeitumkehr erhalten. Die ganzen Schwierigkeiten waren
entstanden durch die vom Blickwinkel des klassischen Spezialfalls sich ergebende Fehlidentifizierung der Zeitumkehr (Engramme!!). Und ganz ähnliches wird dem Begriff Determinismus widerfahren. Doch das spare ich mir auf, bis
Wechselwirkungen genauer definiert sein werden.
Ich rede immer von der Ersatzzeit, von der Hilfsgröße t. Aber welche andere Größe tritt an die Stelle der Zeit, wenn ich sie als 'reine Eigenschaft' gar nicht brauche?
Welche meiner reinen Eigenschaften beinhaltet die Zeit? Viel Auswahl habe ich nicht, denn als solche Eigenschaften des Dorntorus kenne ich ja nur die Abroll- und Rotationsgeschwindigkeiten, zusammen mit dem Prinzip deren Konstanz. Die
daraus folgenden, zu identifizierenden, per Anschauung assoziierbaren Eigenschaften - Meridianlänge (Größe des Torus), Abrollinienlänge (Zusammenhang mit Wechselwirkung), Anzahl Rotationen (und damit Rotationswinkel), Anzahl Umdrehungen
(Schlaufen, Lissajous-Figur) - sind bereits abgeleitete Größen, doch immerhin im System enthalten, nicht wie t künstlich hinzugefügt. Fürs erste will ich der Strecke t2 - t1
auf t die abgerollte Meridianlänge L2 - L1
eines Torus äquivalent setzen. t hat also etwas mit der Torusgröße zu tun. Die genauere physikalische Interpretation muß ich wiederum verschieben, bis ich mehr 'Freiheitsgrade' freigelegt habe, um mich im Modell hin und her bewegen zu können.
Daß ich t als Imaginäranteil bei der Torusdarstellung komplexer Zahlen ansehe, habe ich bereits erwähnt. Verwerfe ich nun t, tritt hier die Torusgröße an ihre Stelle.
Die Assoziierung einer geometrischen Figur ist übrigens keine Zusatzangabe bei der Charakterisierung einer Zahl, genausowenig, wie die Multiplikation der reellen Zahl beta mit der imaginären Einheit i eine notwendige
Zusatzangabe ist oder wie die Vorstellung, die Zahl liege an bestimmter Stelle auf einer Geraden. Als Grundschüler zählten wir Äpfel und Birnen mit denselben Zahlen, mit denen ich jetzt Torusgrößen festlege. Das macht keinen Unterschied.
Die Torusgröße ist genauso lediglich eine Zahl - hier eine imaginäre - wie der Korb voller Äpfel auch nur eine einzige Zahl - eine ebenso abstrakte, natürliche - repräsentiert. - Der Mathematiker in Dir möge mir meine grobe 'Zahlentheorie'
nachsehen! Ich glaube, worum's geht, ist klar.
So viel zu t.
. . . zur Lichtgeschwindigkeit . . .
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Statt Äpfel und Birnen, statt Markierungen auf einer Zahlengeraden, hatte sich die Leere damals die ineinander geschachtelten Dorntori ausgewählt. Sie,
Inbegriff der Faulheit, wählte diese Darstellung aus gutem Grund: Zum Zählen muß sie sich nur ein kleines Schrittchen von ihrem Lager, dem Punkt S, wegbewegen, um die Zahlen erkennen und unterscheiden zu können. Sie muß keine großen
Spaziergänge auf der unendlich langen Zahlengeraden unternehmen. Doch selbst dieses kleine Schrittchen war ihr noch zu viel, denn es war mühsam, nur anhand der Krümmung die Größe des Torus und damit dessen Bedeutung als Zahl zu erkennen.
Sie verfiel auf folgenden genialen Trick: Sie schubste das ganze System in ihrem Punkt S ein klein wenig an, so daß alle Tori begannen, sich aneinander mit dieser kleinen Geschwindigkeit abzurollen. Der Hintergedanke der Leere war
natürlich das Vereinfachen des Zählens: Das Erkennen der Torusgröße ist jetzt gleichbedeutend
mit dem Erkennen der Winkelgeschwindigkeit der Umdrehung eines einzelnen Torus. Und hierzu muß sie sich nur noch infinitesimal wenig von S wegbewegen. Jede Torusgröße ist im Punkt S durch eine ganz bestimmte Winkelumdrehung repräsentiert.
Nichts hindert die Leere, diese Winkelumdrehung statt Äpfel und Birnen zum Zählen zu verwenden. Es macht keinen Unterschied, ob sie eine Zahl oder deren Kehrwert zählt, wenn sie nur stets den Kehrwert verwendet. (Das hatten wir ja gesehen:
Winkelumdrehung ist Kehrwert der Torusgröße.) Und es ist auch völlig gleichgültig, wie sehr sie die Tori geschubst hat. Die Zuordnung Größe - Winkelumdrehung ist eineindeutig, sobald die Abrollgeschwindigkeit einen festen Wert ungleich Null hat.
Gemessen an der 'Vergrößerungsstufe', die wir beim Betrachten des Systems der ineinander geschachtelten Dorntori wählen, kann diese Abrollgeschwindigkeit winzig klein oder riesig groß sein. Völlig gleichgültig. Bei der Wahl der entsprechenden
'Vergrößerungsstufe' haben wir exakt dieselben Verhältnisse. c ist zunächst kein absoluter Wert. Erst die Wahl der 'Vergrößerungsstufe', das Herausgreifen einer bestimmten Torusgröße als Basis - als Zahl -, das Zählen einer einzigen Zahl weist
der Abrollgeschwindigkeit ebenfalls eine feste Zahl zu.
Zwar werden wir die Bedeutung von c als Lichtgeschwindigkeit erst anhand von 'Wechselwirkungen' erkennen, insbesondere beim Thema (spezielle) Relativität, aber wir machen nichts falsch, die vorerst dimensionslose
Abrollgeschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit zu assoziieren oder gleichzusetzen und damit - jetzt von der Seite der Geschwindigkeit kommend - die Vergrößerungsstufe der Betrachtung festzulegen. Ohne dieses künstliche Hinzufügen einer
Zahl als Basis, als Auswahl der Vergrößerungsstufe, in der wir das System der Dorntori betrachten, verfügen wir, wie wohl deutlich geworden ist, über keine absolute Metrik. Nur relative Größen erlaubt die Selbstähnlichkeit, (spezieller:)
die „Skaleninvarianz“.
So viel zu c.
. . . zur Plankschen Konstanten . . .
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Die Situation ändert sich dramatisch, wenn zusätzlich zur konstanten Abrollgeschwindigkeit ein einziger - beliebiger - Betrag eines Winkels hinzugefügt
wird, um den alle
Tori simultan und fortlaufend rotieren. Gleichgültig, wie groß ich die Rotation wähle, diesem bestimmten Rotationswinkel entspricht genau eine Abrollstrecke während der Rotation um diesen Winkel. Ich kann jetzt nämlich Rotieren und Abrollen
jeweils aufeinander beziehen: als Abrollstrecke pro Rotationswinkel ω oder pro voller
2π-Rotation bzw. umgekehrt als Anzahl Rotationen pro abgerollter Strecke L oder als Größe des Rotationswinkels ω pro
abgerollter Strecke c. Und das Bemerkenswerte dabei ist die Entdeckung, daß dieser hinzuzufügende Winkel pro Abrollstrecke, diese Rotationsgeschwindigkeit (wir hatten sie „ro“ genannt), wirklich frei wählbar ist, wie auch c frei wählbar
war. Wie auch immer ich ro wähle - einmal ausgewählt und konstant gehalten, befinde ich mich stets im exakt gleichen Torusbild mit exakt gleichem Verhalten. Wiederum ist es lediglich die Vergrößerungsstufe, die durch die Wahl der
Rotationsgeschwindigkeit ro festgelegt wird. Kleines ro, gemessen am vorbestehenden Betrag für c, versetzt uns in den Bereich kleiner Tori, deren Meridianlängen klein gegen c sind, die also schnelle Wulstumdrehung wu durchführen. v = wu :
ro ist hier groß. Umgekehrt läßt großes ro die Meridianlängen groß gegen c oder - gleichbedeutend - c klein gegen die Meridianlängen erscheinen. v ist dann klein. Aber dies ist tatsächlich jeweils nur die Auswahl der
Vergrößerungsstufe! Durch Vergrößern/Verkleinern des Torus nach Vorschrift (konstante Abroll- und Rotationsgeschwindigkeiten) kann ich wieder jeden beliebigen Wert für v herstellen. Worin besteht dann aber das Neue, das Besondere, das
Sensationelle?
Wir verfügen jetzt über eine absolute Metrik!
Der frei gewählte Rotationswinkel - nennen wir ihn doch gleich ħ
- ist die Einheit, ist der kleinste vorkommende Betrag für die Rotation. Und der Wert für ħ
legt sofort die Größe der Lichtgeschwindigkeit c fest, denn aus den Betrachtungen über Selbstähnlichkeit, Skaleninvarianz und Vergrößerungsstufe folgt die Reziprozität der beiden Größen. Die Wahl eines Proportionalitätsfaktors
ε (= ePlank²) = ħ
· c generiert die Einheit für c und damit auch für die Länge. Wir wählen fürs erste ħ · c = 1.
Die Toruswelt besteht bis hierher aus zwei qualitativ völlig unterschiedlichen Entitäten oder - in meinem Sinne
noch abstrakter :- Eigenschaften. Einmal die kontinuierliche (?!, s.u.) Abrollbewegung (wu) mit konstanter Abrollgeschwindigkeit c (in Längen gemessen), zum andern die diskontinuierliche, aus diskreten Winkeln der festen, konstanten Größe
ħ
zusammengesetzte Rotation (ro). Später, wenn das Bild der Lissajousfiguren ganz klar sein wird, werden wir sehen, daß die Anzahl Rotationen tatsächlich und ohne Benutzung des Begriffs 'Winkel' gezählt werden kann. - Und langsam nähern wir
uns auch der Vorstellung von der Torusdarstellung komplexer Zahlen. Hier will ich nur kurz ohne Erläuterung daran erinnern:
Torusgröße ist imaginär, Rotation reell.
. . . zu Alpha, nochmal . . .
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Mein spontanes Gefühl - einige Wochen zurück - als der Rechner das allererste Mal den Wert 11,706 ausspuckte, war: irgend etwas stimmt hier nicht! Das
Gefühl war stärker als die Freude damals. Erst Tage darauf, als beim nächsten Durchlauf - mit anderen Differentialen - der Wert 11,6901 herauskam, war ich überzeugt, eine Entdeckung gemacht zu haben. Auch mehrere weitere Rechnungen mit
jeweils veränderten Schrittweiten führten in unmittelbare Nähe des Werts 11,7.
Inzwischen habe ich die Rechenvorschrift und die zugrundeliegende Differentialgleichung etwas analysiert, nochmal vereinfacht
(Rechengeschwindigkeit verzehnfacht) und weiß jetzt: das Abknicken der aus den Werten gewonnenen Kurve und der Grenzwert selbst entstehen durch die begrenzte Genauigkeit der Rechnung. Wird der Summand dA kleiner als die letzte Stelle der
Fließkommazahl, die der Rechner benutzt, wird er einfach unterschlagen, und die Summe A bleibt beim aktuellen Wert stehen, auch wenn sich alle anderen, in die Rechnung eingehenden Größen weiter verändern. Insofern ist es für mich ein
unfasslicher, unglaublicher, Wahnsinns-Zufall, daß meine Parameter und die frei gewählte Genauigkeit der Rechnung diese Werte lieferte. Gut, daß ich damals keine Lösung der Differentialgleichung suchte - ich hätte unendlich erhalten. Das
alte Problem, das letztlich zu den Eichtheorien zwang!
Nun - ich bin gewohnt, Zweifel positiv zu sehen, konstruktiv zu benutzen und erst mal ein Liedchen zu singen. In diesem Falle ein Hohes Lied an den Computer. Sein größter
Mangel ist nämlich hier seine Stärke: er kann nicht genau rechnen. Und wenn eben dies jetzt jemand einwendet, kann ich nur erwidern: „Danke für den Hinweis. Mir zeigt dies, daß die Natur ebenfalls nicht genau rechnet. Reelle Zahlen mit
unendlich vielen Stellen hinter dem Komma sind in der Natur nicht verwirklicht, es gibt sie schon seit dem großen Abschlachten kurz nach dem Falschzählen der Leere nicht mehr. Unsere reellen Zahlen tragen ihren Namen zu Unrecht! In der
Realität kommen nur noch diskrete Werte vor - Kontinuum ist illusionäres mathematisches Konstrukt - und das spurlose (?!) Verschwinden der meisten Zahlen hat weite Lücken im reellen Zahlenraum hinterlassen (manche nennen dies
'inflationäres Szenarium'). Nein, lieber Kritiker, gegen den Dorntorus und seine Abrollinie mußt Du schon stärkere Geschütze auffahren.“ Aber nichts für ungut! Für
die Nützlichkeit des Denkmodells (!) Dorntorus lassen sich eben immer Argumente finden. - Und hier will ich auch gleich eine weitere Eigenschaft der Abrollinie verraten, die aus der Rechenvorschrift und damit aus dem allgemeinen Prinzip
konstanter Abroll- und Rotationsgeschwindigkeit folgt:
Pro 360°-Rotation nimmt die Abrollinienlänge um den Betrag eins zu! Ja, exakt 1,000000... - so exakt, wie eben noch unterscheidbare Zahlen zur Verfügung stehen im Rechner oder in der Natur. Was bedeutet dies? Die
Vorstellung
von der Rotation ist redundant. Rotation ist in der Abrollinie bereits enthalten! Die Nachkommastellen ihrer Länge sind gleichbedeutend mit dem Bruchteil einer vollen Rotation. 2,25 entspricht demselben 90°-Längenkreis wie 3,25 oder 4,25 usw.
(Voraussetzung war: Einheitstorus mit v = 1 hat Meridianlänge 1. Wählt man statt dessen den Wert 2π, bedeutet dies nur den Übergang ħ nach h.)
. . . zum Weinberg-Winkel . . .
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Meine Vorgehensweise zur Erkenntnisbildung ist inzwischen, gelinde gesagt, ziemlich unwissenschaftlich. Das gebe ich zu. Ohne Programm und Systematik,
nicht streng logisch, nicht exakt und lückenlos induktiv, nicht aufbauend auf Bestehendem, Bewiesenem, Akzeptiertem - nein, so funktioniert Wissenschaft nicht. Das sehe ich auch so. Ich betreibe keine Wissenschaft - ich vertreibe mir die
Zeit mit Spielen! Spiele mit eingedellten Murmeln, mit Jojos und Kreiseln, mit Figuren, Linien und Zahlen. Beispiel Weinberg-Winkel:
Ich nehme mir vor, in meinen Lissajous-Figuren, Abrollinien, Zahlenverhältnissen und
Rotationswinkeln ein wenig nach dieser Konstanten zu stochern. Wo und als welche Größe könnte sie auftauchen? In Gedanken habe ich die Lissajous-Figuren für v = 1/2, 1, 2 und 3 schon vergeben (Elektron, Myon?, Nukleonen und Quarks). Die
nächste ist die für v = 4. Wäre das nicht eine geeignete Kandidatin für die schwache Wechselwirkung? Die vierblättrige Figur könnte vielleicht mit den in Viererguppen auftretenden Fermionen und Austauschteilchen assoziiert werden:
γ, Z0, W+, W-
? In meinem Spiel ROTATION.BAS lasse ich die eingedellte Murmel zwischen v = 1/2 und v = 4 auf ihrem Jojo-Faden abrollen und kreiseln, registriere in groben Schritten die sich verändernden Größen v, Abrollinienlänge,
Rotationswinkel. Bei v = 1 halte ich an, notiere den Rotationswinkel
ω rund 249°. Weiter kreiseln bis v = 2, ω rund 498°, dann v = 3 und ω rund 644°. Schließlich - bei v = 4 - der Rotationswinkel : ω
rund 747° . . . . . Das ist doch schon mal nicht ganz schlecht. - Ich spiele ein Jumbo-Spiel!
Ich will es genauer wissen, teile den Jojo-Faden zwischen v = 1/2 und v = 4 in hunderttausend Schnipsel auf. Der Rechner braucht
ganze fünf lange Minuten, diese alle einzeln zu analysieren. Jetzt wird's spannend! Bei v = 4,000000 ist die Abrollinienlänge 2,07944 und ω = 748,6°. Was liegt näher, als zwei volle Rotationen abzuziehen? Ich erhalte
ω' = 28°36'. Dies ist der Winkel, um den eines der Blätter der Lissajous-Figur für v = 4 gegenüber dem einzelnen Blatt für v = 1/2 (Elektron, Ausgangswinkel ω = 0) rotiert ist.
Die drei anderen Blätter der Figur <Skizze>
sind gegen das erste um 90, 180 und 270° rotiert, d.h. die Linearkombinationen aus Sinus- und Cosinus-Funktionen bleiben für diese Blätter dieselben, wie es in der entsprechenden Eichtheorie sein soll. Der mir hier an Bord zugängliche Wert
für den Weinberg-Winkel
θW von 1991 ist 28°39' ± 20'.
Mein Spiel macht Spaß!
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