DORNTORUS 2      DORNTORUS (1)

Vorspiel ... und Fortsetzung des Spiels DornTorus (1)

Torusknoten
Worum geht’s ? Was wird hier gespielt ?
Spiel„raum“, Spiel„feld“, „falsches“ Spiel
Vorgabe
Das Spiel :  Spielregeln
Zubehör
Taktik
Wortspiele, Mitspieler und Spielverderber
Spielverlauf
Das Prinzip :  Geometrie und Dynamik
Zahlen und Größen
Blinder Spiegel und Gottesblume
Axiome und Eigenschaften
Metrik und Raum
Modell und Bild
BeDeutung :  Ohne Bedeutung
Zwischen zwei Welten
Tausend tiefe Rätsel
Rätsels Lösung?

 
Das Abenteuer ‘Pocalis’ ist zu Ende. Unvollendet. Nach weniger als zwei Jahren hatte das Spiel begonnen, die Regeln zu diktieren, hatte die Natur mit schriller Dissonanz gesiegt über den vulnerablen Takt der Harmonie eines Traumtanzpaares - die Natur des Landes, der Berge und Bewohner, die Natur der Sache und - alles besiegelnd - die der eigenen, noch verbliebenen Zwänge. Das treue Schiff, die funtom, hatte all die Zeit segelbereit auf den Eintritt dieses Falles gewartet, brachte uns weg von der Insel und außer Landes, hierher an den sichersten Ort dieser Weltregion. Draußen, auf See, löst in diesem Jahr ein Unwetter das andere ab - hier, Sandbänke der Mündung und enge grüne Schluchten des Küstengebirges hinter uns, fünfzig Kilometer flußaufwärts, im stillen klaren Süßwasser des Izabalsees, machen wir den Wirbelstürmen lange Nasen. Hier hab’ ich Ruhe, habe ‘Pocalis’ gegen ‘Zeit’ eingetauscht. Als erstes sondiere ich die angefallenen Arbeiten meines gestiefelten Katers, entspanne und zerstreue mich mit mathematischen Spielereien, schreibe ein Computerprogramm zum Zeichnen von Torusknoten und anderen unnützen Dingen. Dinge allerdings, die ich zum Thema erheben will: es geht wieder um Überlagerung von Rotationen und Schwingungen sowie die Kombination mit Wulstumdrehungen ringförmiger Figuren, speziell des „Dorntorus“. Erstaunlichste Analogien zu physikalischen Strukturen, zudem von bestechender Einfachheit, tauchen ja dabei auf! ... Mein QBasic-Grafikprogramm Rotation, noch in dreidimensionalem Koordinatensystem formuliert, wird allerdings durch die notwendig werdende Erweiterung mit komplizierten Drehmatrizen recht umständlich und entsprechend langsam. Ein neues Konzept, mit komplexzahligen Toruskoordinaten und komobilen Gauß’schen Ebenen, bringt besseren Erfolg, zumal ich ein wenig geübt bin, in solchen Koordinaten statt in den kartesischen des dreidimensionalen Raumes zu denken. Mit ihrer Hilfe sind Zusammenhänge leichter zu durchschauen und Assoziationen zwischen bildlicher Vorstellung und algorithmischer Formulierung für den Rechner einfacher herzustellen. Mehr als zwanzig verschiedene Rotationen lassen sich in Form mitrotierender Ebenen überlagern, mathematisch in einer einzigen Funktion für Amplituden- und Frequenzmodulation einfach als Arithmetik komplexer Zahlen ausdrückbar. Das Programm wird dadurch recht übersichtlich, der mathematische Kern wenige KByte lang, der Eingabemodus bedienfreundlich und die eingebauten Funktionen so allgemein, daß zu meiner eigenen Überraschung und großen Freude alles, was irgendwie nur im entferntesten mit Tori (bestehe auf diesem Plural) zu tun hat, gezeichnet werden kann und zwar in jeder Perspektive, mit reichhaltiger Palette an Oberflächengestaltung, Farbgebung und diversen Variationen. Und - es scheint geeignet, noch unentdeckte Phänomene aus meiner „Dorntoruswelt“ assoziationsbildend zu illustrieren.

 

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Das Bild auf dieser Innenseite ist eine Kopie. (Anm.: Die ursprünglich gedruckten Bilder erscheinen hier im Web als Links. Dieses hier ist als „Torusknoten beißt sich in den Schwanz“ zu finden.)

Das Original, makellos ausgearbeitet und raffiniert farbig gestaltet, stammt von Stewart Dickson - Copyright hält ‘The Post Group’, Hollywood - und fand zusammen mit etlichen anderen hervorragenden Arbeiten desselben Autors Eingang in eine Computer-Grafik-Galerie der Firma Wolfram Research, Champaign/Illinois, mit der für das preisgekrönte mächtige Software-System ‘Mathematica’ geworben wird. Fasziniert von der Brillanz und Aussagekraft solcher mit ‘Mathematica’ produzierten Bilder, mache ich mir nach intensivem Betrachten der gewundenen Röhren und Einfühlen in ihren dynamischen Berg-und-Tal-Raum Gedanken über Möglichkeiten, derartiges selbst zu programmieren. Das Prinzip des Aufbaus der Schlaufen und Knoten ist einfach (in Toruskoordinaten wohlgemerkt, d.h., wenn man die Fesseln der dreidimensionalen Vorstellung abgestreift hat), und schon bald windet sich ein Torus zum Knoten auf den Bildschirm. Für den Fall, daß ein Copyright relevant werden könnte, verzichte ich auf ganz exakten Nachbau und die originale ausgeklügelte Farbgebung (besitze ohnehin keinen Farbdrucker - oder vielmehr, in diesem Drittweltland, meist keine tropentaugliche Tinte dafür), übe mich statt dessen ein wenig in der „künstlerischen Freiheit“ des Programmierers und Tastaturbedieners, um diesen Mangel durch Variation und Verfremdung der Torusoberfläche auszugleichen. Alle Bilder sind mit demselben (!) Algorithmus - nicht mit ‘Mathematica’ - jeweils in einem Zug (wie dieses erste) oder in ganz wenigen Schritten gezeichnet und als Bildschirm-Abzug per MS-DOS (daher nur VGA-Auflösung) direkt auf den Drucker geleitet. Durch Speicherung einiger weniger Parameter (ca. 15 bis max. 40 Zahlen und Zeichenketten, Speicherplatz weniger als 1 KByte) bleibt jedes Bild reproduzierbar und sofort abrufbar. (Anm.: Bezieht sich auf ursprünglichen Druck! Inzwischen - zwei Jahre später - ist meine Ausrüstung auf dem neuesten Stand und beliebige Auflösung möglich.)

Um eine ganz andere Art Torusknoten geht es im folgenden!

Es geht um den Knoten, in dem sich unser gesunder Menschenverstand verfangen hat, den Knoten, der verhindert, daß wir mit anderen Räumen als dem gewohnten dreidimensionalen der Anschauung ebenso selbstverständlich umgehen können, den Knoten, der bis heute verhindert hat, daß eine einheitliche Beschreibung der Welt in Form „grundlegender Naturgesetze“ formuliert werden konnte, ohne viele unbeantwortete Fragen, ohne tiefe ungelöste Rätsel zu hinterlassen. Um auch nur einen Versuch zu starten, diesen Knoten zu entwirren, müssen wir gleichsam rückwärts aus seinen Schlaufen schlüpfen . . .  Die Bilder der folgenden (Rück-)Seiten - mehr nach ästhetischen Gesichtspunkten ausgewählt und meist ohne unmittelbar erkennbaren Bezug zum Text - sind „spin-offs“ der Übung für diesen spannenden Enfesselungstrick.

 

Worum geht’s ?  Was wird hier gespielt ?     zurück

Wir haben eine hervorragende Physik, die - fast - alles leistet, was wir von ihr verlangen. Die Einzeltheorien sind gut ausgedacht, die Rechenmethoden ausgefeilt und physikalische Größen dank moderner Techniken - im übrigen auch Physik - mit höchster Präzision bestimmbar. Muß denn diese Physik noch verbessert werden? Was steckt hinter dem „fast“? Lohnt sich dafür größerer Aufwand?

Als Quelle philosophischer Erkenntnis scheint die Physik ohnehin ausgereizt zu sein: Je mehr physikalische Realität offengelegt wird, desto verworrener und undurchschaubarer werden die metaphysikalischen Erklärungen und philosophischen Deutungen. Immer mehr setzt sich die Einsicht durch oder es gilt sogar als bewiesen, daß eine allumfassende Realität nicht - nicht einmal näherungsweise - mit unseren Sinnen und Denkstrukturen erfaßt und prinzipiell auch nicht vollständig beschrieben werden kann. Ist es dann nicht gleichgültig, wo wir die Grenzen für Erkenntnis ziehen? Wozu weitere Mühe?

Viele - pragmatisch orientierte - Physiker haben die Grenzen für sich gezogen, erhalten sich dadurch den notwendigen Enthusiasmus, fehlende Details auszuarbeiten. Und dies mit größerer Aussicht auf Erfolg als zu versuchen, Erweiterungen der physikalischen Realität in ein konsistentes, erkenntnisphilosophisch geprägtes Weltbild einzubauen. Denn bei Interpretationsversuchen tritt man - trotz spektakulärer und vielversprechender Ansätze - wie seit Jahrzehnten auch heute noch auf der Stelle. Wie kommt das? Sind Natur„gesetze“ zu raffiniert verschlüsselt, um den - möglicherweise einfachen - Code knacken zu können? Oder steckt ein systematischer, unerkannter Fehler in den Vorgehensweisen?

Ich neige zu letzterer - hoffnungsvollerer - Möglichkeit, möchte versuchen, einen solchen systematischen Fehler zu identifizieren und gleichzeitig - in Form eines Gedankenspiels - eine Alternative anbieten, ihn zu umgehen. Denn mir persönlich, wie wohl der Mehrheit derer, die sich darüber Gedanken machen, gefallen die gängigen philosophischen Deutungen der meßbaren Realität, wie sie aus Sicht der Physiker zwingend folgen, nicht. Sie sind unvollständig, widersprüchlich und abstrus. Und genau hierum geht’s!

Um diese Abstrusitäten nicht akzeptieren zu müssen, strebe ich nach einem konsistenten Naturverständnis, das schon mit bescheidenen mathematischen und physikalischen Kenntnissen erreicht werden kann. Lösungen, die das Prädikat „Einfach“ verfehlen - wie beispielsweise das hervorragende und möglicherweise auch vollständige Gedankengebäude „Superstrings“, schließen sich daher aus. Uns Außenstehenden wird es immer als Spielburg tapferer Formelritter und Kletterwand verstiegener Zahlenakrobaten erscheinen.

 

Spiel„raum“, Spiel„feld“ - „falsches“ Spiel ?     zurück

Zwingend sind die philosophischen Folgerungen der Physiker nur, wenn die konzeptionellen Voraussetzungen beim Erstellen ihrer Theorien ausnahms- und alternativlos wahr sind. Doch in Wirklichkeit sind Vorstellungen von physikalischen Entitäten, Größen und Begriffen sowie deren Identifizierung mit - allzuoft illusionären - mathematischen Strukturen in allen Bereichen noch immer dicht durchsetzt von ungenügend reflektierten Gewohnheiten, vermeintlichen Selbstverständlichkeiten, inadäquaten ad-hoc-Axiomen und unerkannten Engrammen der Denkabläufe.

Das hinderlichste, hartnäckigste und am wenigsten als solches erkannte - daher unausrottbare - Engramm ist der dreidimensionale Raum der Anschauung, wie er der Vorstellung jedes Raumes zugrunde liegt, in dem eine physikalische Realität abläuft. Er scheint der einfachste Rahmen, in dem Naturgesetze zu formulieren sind oder in den Naturgeschehen einzubetten ist, decken sich seine Eigenschaften doch auffallend mit unseren angeborenen und erlernten Denkschemata. In Wahrheit ist er bereits ein mächtiges, höchst komplexes und kompliziertes mathematisches Gebilde, weit entfernt von der Einfachheit, die Voraussetzung für Abstraktionsversuche sein sollte. Seine Merkmale Linearität und Kontinuum sowie Punktförmigkeit der Elemente („Raumpunkte“) kennzeichnen ihn als mathematisches Konstrukt sehr hohen Axiombedarfs (deutlich über 20 erforderliche Axiome), was nahelegt, daß seine komplexen Eigenschaften nicht fundamental sein können und in der Natur a priori nicht vorkommen, also weder der Begriff „gerade Linie“ noch irgendeine Vorschrift oder Struktur, die jede „beliebig kleine Umgebung eines Raumpunktes“ mit weiteren Raumpunkten füllt. Ein anderer - wichtiger - Nachteil ist, daß er keine natürliche Metrik besitzt. Man muß - völlig willkürliche! - Größen und Methoden einführen, um den Raum vermessen zu können. Und dieses Vermessen, streng innerhalb des notwendigerweise schon reichhaltigen Axiomensystems definiert, ist wiederum eine sehr komplexe Vorschrift bzw. sogar, wenn man alle dabei benutzten Engramme aufspürt und ausmerzt, logisch konsistent überhaupt nicht definierbar! Zudem bleiben in einem nicht selbstmetrisierenden Raum Ursachen für die Werte dimensionsloser Naturkonstanten auf alle Zeiten im Dunkeln.

Bild „Kartenhaus - Raum und Felder“  (Anm.: Die eingestreuten Illustrationen - von artmetic - haben keinerlei physikalische Bedeutung!)

 

Vorgabe     zurück

Der stetige, gleichförmige, geradlinige ist ein Weg. Er fordert zu akzeptieren, daß die Welt so ist, wie wir sie kennen. Regeln und Gesetze existieren. Sie sind zu befolgen. Und das Ziel liegt immer recht voraus. Ein anderer ist der unstete, sprunghafte, vielfach verwundene. Wer ihn einschlägt, kennt kein Ende und kein Ziel, nicht einmal die Richtung. Aber er kennt die Regeln! Denn ständig hin und her gestoßen, ständig abprallend an den geraden Tangenten, an den stetigen Wegen, erlangt er bald ein sicheres Gespür für Regeln und Gesetze, die ihn bestimmen. Will ich sie erkennen, wähle ich diesen Weg. Will ich Natur verstehen, entscheide ich mich im Widerstreit zwischen Stetigkeit, Kontinuum, Linearität und Lokalität einerseits und deren jeweiligem Gegenteil für letztere.

Bild „vielfach verwundener Weg“

. . . Heute stehen mir die Haare zu Berge, wenn ich mich daran erinnere, wie fest ich an Naturgesetze glaubte, deren erhabene Existenz unzweifelhaft und heilig war. - Den Glauben habe ich längst verloren, die Gesetze sind nicht mehr heilig, ich ihnen nicht mehr treu und neben dem abenteuerlichen Spiel des Lebens und den spannenden Spielen der Gedanken zählt nur noch eigenes Erkennen der Spielregeln und Spaß am Begehen von Sakrilegien. Mit Vergnügen schließe ich mich der in manchen Fachkreisen praktizierten Bestimmtheit des Vortragens an und möchte alle folgenden Arbeitsthesen - Spielregeln, wie ich sie nenne - als Feststellungen verstanden wissen und nicht als bescheidene Vorschläge! Auch muß ich mich im Spiel weder penibel über Rechtfertigungen der Semantik oder Darlegung der philosophischen Herkunft ergehen noch brauche ich eine lange Liste über eventuell schon Vorgedachtes anzugeben. Der Zweck bestimmt (heiligt?) die Mittel!  Und das Spiel kann beginnen . . .

Spiel - Vorgabe :
Der systematische Fehler bei der Formulierung einer Fundamentalen Physik ist die Zugrundelegung des dreidimensionalen Raumes der Anschauung.