DORNTORUS 2      DORNTORUS (1)

Vorspiel
Torusknoten
Worum geht’s ? Was wird hier gespielt ?
Spiel„raum“, Spiel„feld“, „falsches“ Spiel
Vorgabe
Das Spiel :  Spielregeln
Zubehör
Taktik
Wortspiele, Mitspieler und Spielverderber
Spielverlauf

Das Prinzip :  Geometrie und Dynamik

Zahlen und Größen
Blinder Spiegel und Gottesblume
Axiome und Eigenschaften
Metrik und Raum
Modell und Bild
BeDeutung :  Ohne Bedeutung
Zwischen zwei Welten
Tausend tiefe Rätsel
Rätsels Lösung?

 
Um die Eigenschaften des Dorntorus exakt auszuarbeiten, müßte an dieser Stelle mathematischer Formalismus einsetzen. Mich jedoch versetzt dieser Versuch regelmäßig auf einen Berg von Tautologien, bin dann unschlüssig zu entscheiden, welcher der vielen Aufstiege wohl der beste und bequemste sei. Drum beginne ich verlegen, ein wenig die Landschaft zu beschreiben, zeichne zunächst nur ein grobes Bild des Dorntorus, indem ich einfach einige seiner Eigenschaften aufzähle bzw. Vorschriften angebe, wie ich ihn erzeugen kann. Zu dieser Beschreibung benutze ich durchaus die „gesamte“ Mathematik, also auch Reminiszenzen an den dreidimensionalen euklidischen Raum, den ich ja verdrängen will, mache damit Zugeständnisse an das Engramm vom Raum der Anschauung. Für die bloße Bildgewinnung sei’s erlaubt.

• Ein Dorntorus ist ein Rotationskörper mit Kreis als erzeugende Linie und mit einer Tangente als Rotationsachse. Oder:
   
• Ein Dorntorus der GRÖSSE L ist die Menge aller Kreislinien mit Länge L, die genau eine gemeinsame Tangente in genau einem gemeinsamen Punkt haben. Der Punkt heiße „S“ (wie Symmetrie oder wie Singularität).
   
• Ein Dorntorus der GRÖSSE L ist die Menge aller Punkte, deren Abstand (kürzeste Entfernung) von einer Kreislinie mit Radius R genau R ist. Die GRÖSSE L ist sowohl Umfang des Kreises als auch „Wulstumfang“ des Dorntorus. Es gilt L = 2πR, Oberfläche O = L² und Volumen V = ½ OR.
   
• Gegeben sei eine (flexible) Kugel. An genau gegenüberliegenden Punkten, bezogen auf den Kugelmittelpunkt, drücke ich ihre Oberfläche etwas ein und ziehe dann die beiden Einstülpungen - „von innen“ - zu zwei Spitzen („Dornen“) aus, die sich schließlich in der Mitte der ehemaligen Kugel vereinigen. Es resultieren ein Dorntorus und ein überzähliger Punkt.
   
• Trenne ich die beiden Dorne am Punkt S, so verbleibt dieser Punkt bei nur einer Spitze, während die andere ein punktförmiges Loch erhält. Stülpe ich die Dorne nach außen und blähe das Ganze, läßt sich die Figur in der ebenen Fläche ausbreiten, wobei Nachbarpunkte des Loches, des fehlenden Punktes also, die Begrenzung darstellen (Grenzlinie selbst gehört nicht zur Fläche!). Der Dorntorus ist somit topologisch äquivalent einer „offenen“ Fläche, z.B. dem Inneren einer Scheibe, nicht der Kugel (da nicht „geschlossen“) und nicht dem Ring (da ohne „Henkel“).
   
• Verfahre ich mit der „Riemannschen Zahlenkugel“ wie oben beschrieben, Nord- und Südpol einstülpend, erhalte ich die bemerkenswerte Figur, bei der die Werte Null und Unendlich von ein und demselben Punkt repräsentiert werden, vom Punkt S nämlich, dem Symmetriepunkt des Dorntorus.
   
• Ein Punkt auf der Oberfläche eines gegebenen Dorntorus ist, bis auf sein Spiegelbild und die Festlegung des Bezugskreises ω = 0 (Nullmeridian ω₀) durch zwei Angaben bestimmt: „Geographische Länge“ ω und „Breite“ φ. Länge ist der „Rotations“winkel ω, gemessen am Punkt S, bezogen auf ω₀, im Gegenuhrzeigersinn gezählt, aus der als positiv bezeichneten Rotations-Halbachse gesehen und in der dazu senkrechten Symmetrieebene gelegen. Negative Werte in Gegenrichtung. Breite φ wird vom Mittelpunkt des Wulstquerschnittes aus gemessen, Punkt S als Breite Null definiert, zunehmende Werte in Richtung der positiven Halbachse. Negative Werte für φ sollen nicht vorkommen. Toruskoordinaten - vorerst nicht komplexzahlig - bestehen also aus dem Tripel (+φ , ω₀ , ±ω). Das + vor φ steht zugleich für die Festlegung der positiven Richtung (der Rotationsachse).
   
• Um einen gegebenen Dorntorus von einem beliebigen zu unterscheiden, ist die Angabe seiner GRÖSSE L notwendig. Toruskoordinaten bestehen dann aus vier Angaben: (L , +φ , ω₀ , ±ω), da jetzt die Tori gegenseitig auf sich selbst bezogen werden können und nicht mehr notwendig auf eine Richtung im dreidimensionalen Raum, in den ein einzelner Torus einzubetten ist. Es verbleibt (L , +φ, ±ω).
   
• Wenn es den Einheitsdorntorus der GRÖSSE L = 1 gibt (es gibt ihn sogar natürlicherweise, wie sich zeigen wird!), kann ich eine Zuordnung L ↔ φ definieren, so daß gilt: 1 ↔ 2π, φ = 2πl + φ’, 0 ≤ φ’ < 2π, l natürliche Zahl. Die Rolle der Breite übernimmt φ’. Orte mit Breite φ’ = 0 liegen somit auf Dorntori ganzzahliger GRÖSSE L (↔ 2πl). M.a.W.: Punkt S (nur er hat Breite Null!) liegt stets auf Dorntori ganzzahliger GRÖSSE, oder: bei Ineinanderschachteln von Dorntori mit gemeinsamer Rotationsachse, gemeinsamem Punkt S und obiger Zuordnung L ↔ φ kommen nur solche mit ganzzahliger GRÖSSE vor. Als Toruskoordinaten verbleiben die Paare (+φ, ± ω).

Bei dieser - und auch bei der nachfolgenden - „Landschaftsschilderung“ kommt es, wie gesagt, darauf an, das Bild einzufangen, nicht auf mathematisch exakte Deduktion oder alleinige Verwendung aussagenlogischer Identitäten!

Bild „Torus mag die Statik nicht“

Denke ich mich in den Punkt S des Dorntorus mit GRÖSSE L = l (φ ist dann 2πl und φ'=0) und schicke „Irgendetwas“, das φ' mißt, um den Wulst herum, so springt die GRÖSSE in dem Moment auf den Wert l+1, wenn „Irgendetwas“ wieder in S ankommt und mir „Irgendwie“ die volle Umrundung anzeigt. Volle Umrundung heißt Breite 2π, φ' wird hier auf Null zurückgesetzt, φ nimmt den Wert 2π(l+1) an, also ist L = l+1. Bei vielfachen Wulstumrundungen wächst - von S aus gesehen - der Dorntorus jeweils „ruckartig“ in diskreten Schritten der Weite 1. (Zur Beachtung: S liegt immer auf Breite Null!)

Statt „Irgendetwas“ zu bemühen, das Breite messend um den Wulst läuft, und um mir ein Bild dieses Vorgangs zu machen, kann ich den Dorntorus sich um seinen eigenen Wulst drehen lassen. Er soll jetzt eine „wulstförmige Abrollbewegung“ durchführen, sich „abrollen“, „umdrehen“ oder schlicht „drehen“. Damit kommt Dynamik ins Spiel! Sobald φ nicht mehr Breitengrade angibt (die Rolle hat ja φ' übernommen) und die ganz einfache Zuordnung L ↔ φ gilt, d.h. Torus-GRÖSSE ↔ fortlaufendes Umkreisen seines Wulstes - also auch mehrfaches, über 2π hinaus -, kann φ als Referenzmaß einer Wulstumdrehung oder Abrollbewegung betrachtet werden. Zu beachten ist, daß pro Umkreisen eines auch noch so ‘großen’ Toruswulstes immer nur 1, die GRÖSSE des Einheitsdorntorus, addiert wird, nicht der Wulstumfang oder die GRÖSSE L des umkreisten Torus selbst. φ mißt also nicht die „abgerollten Breiten“, sondern „abgerollte Meridianlänge“, die in Einheiten der GRÖSSE gemessen wird, Bogenmaß 2π GRÖSSE 1 entsprechend. Gewissermaßen dreht sich der Einheitsdorntorus im Punkt S simultan mit und rollt stets exakt die gleiche „Meridianlänge“ wie der betrachtete Torus ab. Dieses meint  „φ als Referenzmaß“.

Wichtig ist hierbei: Die abgerollten Breitengrade - der Winkel, um den sich ein Torus bei der GRÖSSEN-Zunahme um 1 dreht, hängt von seiner aktuellen GRÖSSE ab. Ein ‘größerer’ Dorntorus rollt weniger Bogenmaß ab, m.a.W.: seine „Winkelgeschwindigkeit“ der Wulstumdrehung ist kleiner, und zwar ist sie umgekehrt proportional zu seiner GRÖSSE (Bogenmaß Δφ : 2π = Kreisbogen : L).

Nun, die Sache ist noch nicht besonders aufregend. Es ist zwar wert und wichtig, innezuhalten und etwas über die Bedeutung nachzudenken, aber richtig spannend wird's erst, wenn sich die Unterschiede zwischen L und φ, zwischen GRÖSSE und Winkel verwischen und damit auch der Einheitsdorntorus als Referenz und Assoziationshilfe aus der Vorstellung verbannt werden kann.

Vorerst ist er der „Taktgeber“, mit dessen Hilfe ich die angesprochene „Winkelgeschwindigkeit“ - nenne ich sie „wu“ - definieren kann. Er muß allerdings mit einer „Marke“ versehen sein, damit ich in S registriere, wann der Torus wieder die GRÖSSE 1 abgerollt hat. Eine hierfür heranzuziehende Eigenschaft kann ich jedoch in der bislang strukturarmen Symmetrie der Figur nicht entdecken, weiche deshalb auf etwas ganz anderes aus, was Struktur hereinbringt, jede Menge Marken liefert und damit als Taktgeber, als Referenz der dynamischen Vorgänge, viel geeigneter ist als der Einheitsdorntorus:

Ich mache den abrollenden Dorntorus noch dynamischer und lasse ihn auch um seine Rotations-Symmetrieachse rotieren („Rotation“ und „rotieren“ sollen künftig immer und ausschließlich Rotation um diese Achse bedeuten). Auf gleiche Weise wie ich die (zumindest in der Vorstellung kontinuierliche und lineare) GRÖSSEN-Änderung des Dorntorus durch die Zuordnung L ↔ φ, mit φ = 2πl + φ’, zu einem periodischen Vorgang mache, der diskrete Werte l liefert, kann ich bei der Rotation, die offenbar primär periodisch ist (aber Vorsicht: auch diese Aussage ist mit Engrammen und dem Raum der Anschauung verknüpft!), eine Zuordnung M ↔ ω = 2πm + ω‘ herstellen, bei der jetzt M analog als kontinuierliche und lineare Größe (nicht GRÖSSE!) gesehen werden kann. Zahl m ist wiederum eine natürliche und ω‘ gibt einen Rotationswinkel an mit 0 ≤ ω‘ < 2π. So wie l die Anzahl der Wulstumrundungen durch φ’ war, ist hier m die Anzahl ganzer Rotationen, die von  ω‘ durchlaufen werden.

Bild „Hinein in den dynamischen Dorn!“

 

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„... von vorn rechts oben bis hinten links unten“ (Bild)

Um ein klein wenig Ordnung auch in die bisherige Schilderung des im euklidischen Raum gezeichneten Bildes zu bringen, will ich es zwischendurch in elementarmathematische Formeln packen, ohne diese jedoch als Grundlage für das Modell bereitzustellen. Ihnen ist lediglich ein erklärender, assoziationsfördernder Sinn zugedacht, denn mathematische Beschreibung „des Prinzips“ soll den Raum der Anschauung gar nicht benutzen.

Zunächst zum statischen Dorntorus: Er sei so in kartesische Koordinaten plaziert, daß Mittelpunkt S und Koordinaten-Ursprung O zusammenfallen, ebenso Rotations-Symmetrieachse und z-Achse, sowie deren jeweilige positive Richtungen. Für Punkte (x, y, z) auf der Oberfläche des Dorntorus mit GRÖSSE L = 2πR  (= konstant) gilt, wie leicht der Skizze 1 zu entnehmen ist:  (R - T)² + z² = R²  oder

(1)

x² + y² = T²

T² + z² = 2RT

Sehr viel mehr sinnvolles, als diese Gleichungen aufzustellen, ist mit den kartesischen Koordinaten diesbezüglich nicht anzufangen. Adäquater für die Beschreibung eigentlich aller geometrischen Eigenschaften sind die schon  eingeführten Dorntoruskoordinaten: ( GRÖSSE L , „Breite“ φ , „Länge“ ω ). Hier, beim „statischen“ Torus gilt:  L = konstant,  0 ≤ φ < 2π ,  0 ≤ ω < 2π .

Zum Zwecke der Projektion in den Raum der Anschauung (und in die Bildschirmebene!) lassen sich diese Dorntoruskoordinaten wieder in kartesische rücktransformieren. Es gelten folgende Gleichungen:

(2)

x  =  T cos ω

y  =  T sin ω

z  =  R sin φ

T  =  R (1 - cos φ)

Längen von Linien auf der Dorntorusoberfläche lassen sich ebenfalls am besten mit Hilfe der Dorntoruskoordinaten berechnen, insbesondere sind dies:

Längenkreis bei ω = konstant (auch Meridianlänge, Wulstumfang, GRÖSSE):

(3)

L  =  ∫ R dφ  _(0...2π) =  2πR

Breitenkreis (bei φ = konstant!):

(4)

B  =  ∫ T dω  _(0...2π) =  2πT  =  L (1 - cos φ)

Abrollinie pro Wulstumfang bei v = φ : ω = konstant (das ist die Linie, die einmal um den Toruswulst führt und für deren Punkte ( φ , ω ) die Bedingung φ : ω = v , also auch dω = dφ / v gilt):

(5)

dA²  =   dL² + dB² .    Nach diversen Umformungen:

(6)

A  =  ∫ (R² + T²/v²)^½ dφ ,  sowie ausgeschrieben:

(7)

A  =  L/2πv ∫ [v² + (1 - cos φ)²]^½ dφ

Der Ausdruck ist wohl nicht in geschlossener Form integrierbar, d.h. durch elementare Funktionen darstellbar, und die formale Lösung gestaltet sich etwas schwieriger (ausführliche Diskussion führt zu „Torusfunktionen“, die wiederum in Termen der Legendre-Funktionen ausgedrückt werden), aber numerisch, mit Hilfe des Rechners, erhält man schnell und in beliebig genauer Näherung die gesuchten Längen A nach Einsetzen von Werten für L und v, z.B. bei L = 1 und

v = 1:     A  ≈  1,51317957664
v =  ½:   A  ≈  2,37884325313
v =  2:    A  ≈  1,16263753287 ...

Der „dynamische“ Dorntorus zeichnet sich im Vergleich zum „statischen“ dadurch aus, daß L nicht konstant gewählt wird und daß die Winkel φ und ω nicht mehr Positionsangaben auf der Torusoberfläche darstellen, also jeweils nur bis 2π laufen, sondern auch jeden Wert darüber annehmen können, was fortlaufende Wulstumdrehung bzw. Rotation bedeutet. Doch nur wenn ich über einen „Taktgeber“ als Referenz für solche dynamische Vorgänge verfüge, kann ich von (Winkel-)„Geschwindigkeiten“ sprechen. In diesem Zusammenhang sind dies Abroll- und Rotationsgeschwindigkeit (erstere nannte ich „wu“, entsprechend heißt letztere „ro“). Mit der periodischen Schreibweise für ω, also

(8)

ω  =  2πm + ω‘ ,  m ∈ N ,  0 ≤ ω’ < 2π

ist eine volle Rotation (ΔM = 1, Δω = 2π) definiert und in Kombination mit der Wulstumdrehung - ebenfalls periodisch -

(9)

φ  =  2πl + φ‘ ,  l ∈ N ,  0 ≤ φ’ < 2π

entstehen auch „Marken“ für das Zählen der Rotationen (in Form der noch zu diskutierenden „Lissajous-Figuren auf der Dorntorusoberfläche“). Damit habe ich den gesuchten Taktgeber. Der Einfachheit halber setze ich ro = konstant, was ich nicht tun müßte, denn selbst eine wild variierende Rotationsgeschwindigkeit hätte keinen Einfluß auf dynamische Vorgänge, da diese alle auf jeweils „volle Rotationen“ bezogen werden - ohne Berücksichtigung, wie diese (volle Rotationen) erreicht wurden. Variation von ro muß auf Koordinaten außerhalb des Systems aus Toruskoordinaten bezogen werden, ist innerhalb überhaupt nicht feststellbar. Lediglich der - wenn man so will - „periodische Durchgang einer Marke durch den Bezugsmeridian“ ist alleine mit den verfügbaren Größen (L, φ, ω) beschreibbar. Es ist kein Spezialfall, also keinerlei Einschränkung der Allgemeinheit, wenn ich ro als konstant betrachte. Die Bedeutung als „Winkelgeschwindigkeit“ ist demnach nur Vorstellungshilfe und spiegelt keine tatsächlich existierende (dynamische) Größe wider.

Bild „Periodizität der Linearität der Periodizität...“

(10)

m  =  Σ i  _{(i = 1...l)} =  ½ l(l + 1)

Da sowohl l als auch m natürliche Zahlen sind, stehen nach (10) für m nur bestimmte Zahlen Z zur Verfügung:

(11)

Z = {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190, ... }

L < 1 ist nicht definiert, denn es stehen hier keine natürlichen Zahlen l zum „Abzählen“ oder „Messen“ zur Verfügung. L steht dann nicht mehr für GRÖSSE im gleichen Sinne wie bisher, sondern nur noch für die Anzahl l der Wulstumdrehungen. L wird jetzt zum Taktgeber der Rotation! Diese wiederum - M - bekommt neue Bedeutung, da sie jetzt mit natürlichen Zahlen gezählt werden kann (Mit Werten l für L > 1 abgezählt, kann M ja nur Werte m ∈ Z annehmen). Es gelten die gleichen - nur vertauschte - Beziehungen:

(12)

l  =  Σ i  _{(i = 1...m)} =  ½ m(m + 1)  ,    l  ∈  Z

Jetzt (ab)zählbar (M = 1, 2, 3, 4 ... ), kann M die Bedeutung einer meßbaren Größe übernehmen. Nenne ich sie das „Maß“ der Rotation oder des Dorntorus bzw. - statt der Anführungszeichen: MASS. Mathematisch besteht völlige Symmetrie zwischen den beiden Größen MASS und GRÖSSE und es ist - im Einklang mit Spielregel 6 - ganz in mein Belieben gestellt, welche von ihnen ich als „grundlegend“ auswähle.

Die Bedeutungen von ro und wu als „dynamische“ Größen sind nicht exakt zu fassen, Ausdruck der Definition als reine Vorstellungshilfe und des Zugeständnisses an unsere Engramme von „Dynamik“. Aber man kann sie als vereinfachende Hilfsgrößen einführen und mit ihnen rechnen. Der schon als konstant gewählte Wert für die Hilfsgröße ro soll „h“ heißen. Entsprechend (Begründung wird als wesentlicher Bestandteil „des Prinzips“ nachgeliefert) setze ich auch wu = const., nenne diesen Wert „c“. c = 1 soll Abrollen der GRÖSSE 1 pro Rotation um MASS h bedeuten und genauso h = 1 eine Rotation pro abgerollter GRÖSSE c. Ich will den Dorntorus jetzt aufteilen in verschiedene Fälle und diese mit Namen versehen:

L < M :  „äußerer“, „großer“ oder „Makro“-Dorntorus DL
L > M :  „innerer“, „inverser“ oder „Mikro“-Dorntorus DM
L = M :  „Einheits“-Dorntorus  „μ“  (L = M gilt für L = M = 1)

Andere Fälle, insbesondere auch Zulassen von Null und negativen Werten sollen später zur Sprache kommen. Andere Größen nicht! Die bisher aufgetauchten reichen zur Entwicklung des Bildes aus. Abgeleitete Beziehungen, aus denen sich Größen konstruieren ließen, werden sich als Eigenschaften der GRÖSSE L - der Grundlegenden Größe aus Etappenziel 6 - herausstellen. Die Geometrie aber, Werkzeug zur Konstruktion des Bildes, Hilfsmittel zum Erkennen von Größen in diesem Bild und Gedankenstütze für die Abstraktion von hinderlichen Engrammen - sie reicht nicht aus. Sie muß erweitert werden.
 
 
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