DORNTORUS 2      DORNTORUS (1)

Vorspiel
Torusknoten
Worum geht’s ? Was wird hier gespielt ?
Spiel„raum“, Spiel„feld“, „falsches“ Spiel
Vorgabe
Das Spiel :  Spielregeln
Zubehör
Taktik
Wortspiele, Mitspieler und Spielverderber
Spielverlauf
Das Prinzip :  Geometrie und Dynamik
Zahlen und Größen

Blinder Spiegel und Gottesblume

Axiome und Eigenschaften
Metrik und Raum
Modell und Bild
BeDeutung :  Ohne Bedeutung
Zwischen zwei Welten
Tausend tiefe Rätsel
Rätsels Lösung?

 
Erweiterung der Geometrie heißt, wenn ich Abstraktion im Sinn habe, Reduzierung ihrer Axiome. Nicht ein einzelnes, wie etwa das Parallelenaxiom, will ich verwerfen, sondern radikal alle. Ziel ist ja weder eine „nichteuklidische Geometrie“ noch irgend eine andere Spielart des Raumes der Anschauung. Als ein den Zahlen und der Arithmetik assoziiertes Bild - in Worten beschreibbar - bleibt Geometrie dann nicht länger Zweig der Mathematik, wird vielmehr ein semiotisches und/oder auch psychologisches Hilfsmittel, die Bedeutung der reinen Zahlen zu verstehen. Zahlen sind grundlegender als jedes Bild, und Arithmetik ist vielfältiger als jede noch so ausgeklügelte Geometrie. Zahlen reichen aus, die komplexe Welt, so wie sie sich in unseren Köpfen widerspiegelt, in Regeln und Gesetze zu fassen. Geometrie wird zum Spiegel, der das Bild in unser Bewußtsein wirft. Aber: Axiome wählen aus, schränken ein, filtern und verzerren! Zu viele solcher Bedingungen machen den Spiegel blind, und statt des Bildes, das er werfen soll, sehe ich schließlich bloß ihn selbst. Für „naturgetreue“ Abbildung brauche ich den „bedingungslosen, nur einfach geschliffenen Spiegel“ - eine axiom-minimierte Geometrie.

An den für eine Arithmetik notwendigen und hinreichenden Axiomen der Mengenlehre will ich nicht rütteln („von irgend etwas muß man ausgehen!“), jene aber, die dem Raum der Anschauung zugrunde liegen (bzw. umgekehrt: die aus diesem abgeleitet sind), muß ich - zum zigten Male - der Vortäuschung falscher Tatsachen bezichtigen. Zumindest, wenn sie zur Erklärung einer Fundamentalen Physik herangezogen werden. Physikalische Entitäten halten sich an nicht ein einziges Axiom der Geometrie, die für die „natürliche“ gehalten wird. Die Existenz von Zahlen aber - reine Zahlen mit Regeln zum Rechnen mit ihnen - ist auf genau dieselbe Weise grundlegend für eine reale Welt wie die Existenz physikalischer Entitäten Voraussetzung und Grund für die Beschreibbarkeit (= jeweilige Realität) aller physikalischen Objekte ist.

Ab einer bestimmten Stufe der Abstraktion (von Engrammen) sind Zahlen und Entitäten ein und dasselbe. Eine adäquate Geometrie muß ein Bild der Arithmetik nachzeichnen und nicht umgekehrt Quelle für Eigenschaften von Zahlen sein. Zahlen sind ursprünglicher. Sie existieren auch ohne Geometrie und ohne jemanden, der mit ihnen rechnet. Zahlen rechnen mit sich selbst. Sie „zählen und vergleichen sich gegenseitig“. Ihre Arithmetik ist dynamisch! Deren einfache Regeln verleihen der Menge aller Zahlen und der Menge aller sich aus ihnen bildenden Mengen von Zahlen die Struktur, die wir als physikalische Welt beschreiben. Und so „einfach“ wie die Zahlen selbst, müssen auch die Axiome einer passenden - dynamischen - Geometrie sein.

Bild „Gottes blinder Spiegel“

Einfachheit der Entstehung - Arithmetik - und Komplexität der Darstellung - Geometrie - machen einerseits die Komplementarität des Dorntorus deutlich, weisen andererseits aber unmißverständlich auf die Diskrepanz zwischen Zahl und Bild - zwischen Arithmetik und Geometrie - hin. Für das Verständnis der Zahlen sind die Bilder in den kartesischen Koordinaten der Zeichenblatt- oder Bildschirmebene nicht adäquat, solange man ihnen verhaftet bleibt und nicht durch den „blinden Spiegel“ hindurch - kontemplativ - die ebenso einfache Geometrie der Dorntoruskoordinaten entdeckt. Kontemplation zeigt den Weg zu den Fragen, und der einzige - vielfach verwundene - Weg allen Erkennens ist, die richtigen zu finden. Sie enthalten die Antwort. - (Nichtbeachten dieser Spielregel macht auch Philosophie zu einer pragmatisch-phänomenologischen Wissenschaft.)

* Anm.: Der Schriftzug „GOTT“ links der Mitte war nur beim Zeichnen mit VGA-Auflösung 600x480 zu erkennen, dann aber unübersehbar deutlich. Um keine weitergehenden Assoziationen, Mutmaßungen oder gar Interpretationen aufkommen zu lassen, verzichte ich hier auf die Wiedergabe der ursprünglich abgedruckten einfarbigen Abbildung. (Nachtrag 2018: hier doch noch ein Foto des Drucks von 1998. Autor ist aber immer noch Atheist :-)

 

Axiome und Eigenschaften     zurück

Nun ist es wirklich an der Zeit - so oft angekündigt -, „Das Prinzip“ endlich zu formulieren. Ich will es - wenig spektakulär - mit Hilfe einer ganz banalen kybernetischen Betrachtung einführen: Wieviele Rechenschritte sind nötig, um allein mit der „fundamentalen“ Zahl Eins auf eine beliebige Zahl l zu zählen? Nicht l - nein, ½l(l+1) ! Nehme ich zum Beispiel l = 7. Das Zählen, nur mit Eins! - schrittweises Ausprobieren und Vergleichen -, sieht so aus:

· · · · · · · 1 ≠ 1+1+1+1+1+1+1, also weiterzählen
· · · · · · 1+1 ≠ 1+1+1+1+1+1+1, weiterzählen
· · · · · 1+1+1 ≠ 1+1+1+1+1+1+1, weiter
· · · · 1+1+1+1 ≠ 1+1+1+1+1+1+1, weiter
· · · 1+1+1+1+1 ≠ 1+1+1+1+1+1+1, weiter
· · 1+1+1+1+1+1 ≠ 1+1+1+1+1+1+1, weiter
· 1+1+1+1+1+1+1 = 1+1+1+1+1+1+1  STOP.

Zum Zählen der Zahl 7 habe ich 28 Einsen benötigt!  28 = 7·4 = ½·7·(7+1) oder allgemein (Dreiecke beachten): Zum Zählen der Zahl l mit der Einheit Eins sind m = ½l(l+1) Rechenschritte notwendig. Dies ist uns schon begegnet als Anzahl der Rotationen (= „Taktgeber“), die der dynamische Dorntorus benötigt, um - beginnend mit GRÖSSE L = 1 - die GRÖSSE L = l anzunehmen. Und wächst er weiter auf GRÖSSE l', rotiert er weitere ½l'(l'+1)-½l(l+1) mal. Zähle ich zum Beispiel von 7 weiter auf 12, diesmal abgekürzt geschrieben:

7+1 ≠ 12, weiterzählen
7+2 ≠ 12, weiter
7+3 ≠ 12, weiter
7+4 ≠ 12, weiter
7+5 = 12  STOP.

Die Summe der Zahlen links (zum Weiterzählen benötigte Anzahl Einsen) ist 50 = ½·12·(12+1)-½·7·(7+1). Das ganze Geheimnis einer einfachen, zahlengemäßen („adäquaten“) Geometrie ist, diese Arithmetik als Bild nachzuzeichnen. Ich bin dabei, dies zu tun und stoße dabei auf Gesetzmäßigkeiten, die sich in Worten etwa folgendermaßen zusammenfassen lassen:

Definition 1 :
Ein „dynamischer Dorntorus“ ist die einfachste geometrische Figur, die zwei periodische Vorgänge - „Abrollen“ (l) und „Rotieren“ (m) - in einem Bild gekoppelt symbolisiert.

Zur Semantik : „dynamisch“ entspricht dem normalen Engramm von „sich verändernd“, „nicht ruhend“; „einfachst“ steht für „mit der geringsten Anzahl notwendiger Parameter (hier: Bestandteile) beschreibbar“; „periodischer Vorgang“ ist nicht einfach etwas „sich Wiederholendes“, sondern entsteht durch die gegenseitige Zuordnung einer kontinuierlichen Veränderung und einer stufenweisen (in diskreten Schritten ablaufenden); „Abrollen“ (des Dorntoruswulstes) ist das Bild einer solchen Zuordnung, nämlich der kontinuierlichen Größe φ und der Größe l, definiert in (9), „Rotieren“ (um Symmetrieachse des Dorntorus) entspricht ω ↔ m in (8); „Bild“ und „symbolisiert“ soll darauf hinweisen, daß es sich - wie beim dreidimensionalen euklidischen Raum der Anschauung auch! - um eine rein abstrakte Vorstellungshilfe handelt, ein Analogmodell, ohne jede konkrete, faßbare Realisierung in der „Natur“.

Bild „alle Magie in fünf Sätzen“

Das Prinzip, nun, steckt in den folgenden, wenig aufregenden, „Axiomen“ (im Sinne von schlicht „Aussagen“). Das erste resultiert aus der eben genannten Zuordnung (9), mit der aus einer rein fiktiven kontinuierlichen Größe φ die Folge der natürlichen Zahlen extrahiert wurde.

Axiom A  (wie Abrollen) :
Abrollen des dynamischen Dorntorus geschieht in diskreten Schritten.

Aus den Betrachtungen über die ebenfalls fiktiven Größen wu und ro wurden die Beziehungen (10) für den großen Dorntorus und (12) für den inversen gewonnen, nicht ganz mathematisch exakt zwar, mehr intuitiv, weshalb in der folgenden Aussage die Ableitung gar nicht benutzt wird.

Axiom B  (wie Beziehung) :
Abrollen und Rotieren stehen in fester Beziehung zueinander.

Der Wert der einen Größe wird mit dem jeweils anderen Vorgang „abgezählt“. Diese gegenseitige Abhängigkeit habe ich mit dem Begriff „Taktgeber“ zu veranschaulichen versucht. Und um den Takt, die Zählrate genauer, geht es auch im folgenden, was allerdings noch der näheren Erläuterung bedarf.

Axiom C  (wie const.) :
Die kleinste Schrittweite des Abrollens ist c = const., die des Rotierens h = const.

Stelle ich mir einen beliebig großen, sich abrollenden und rotierenden Dorntorus vor, dessen beliebig große Abrollwinkelgeschwindigkeit wu nach einer festen, eineindeutigen Vorschrift von der GRÖSSE des Dorntorus abhängen soll (ich hatte umgekehrte Proportionalität angenommen). Daß die Rotationswinkelgeschwindigkeit ro wegen Fehlens einer Bezugsgröße ohne Einschränkung der Allgemeinheit als konstant angesehen werden kann, habe ich schon angesprochen. Ähnlich ist die Wahl einer beliebigen konstanten Schrittweite für die GRÖSSEN-Änderung lediglich das Herausgreifen bestimmter Argumente für die eineindeutige Vorschrift - die Vorschrift selbst wird davon in keiner Weise berührt. Auch hier ist es keinerlei Einschränkung der Allgemeinheit, die Schrittweite als konstant zu betrachten. Ihr Wert ist völlig gleichgültig - das Verhalten des Dorntorus ist unabhängig davon. Um bei den natürlichen Zahlen zu bleiben, wähle ich c = 1 für das Abrollen, h = 1 für die Rotation. Hierzu, zur Konstanz der Schrittweite, was gleichbedeutend mit konstanter Abrollgeschwindigkeit ist (jetzt in GRÖSSEN-Einheiten gemessen!), später mehr. Hier zunächst, als Ergänzung der umgangssprachlich laxen Formulierungen, eine mathematische Definition, die das bisher gesagte inklusive der Eingangsbetrachtung über Anzahl Rechenschritte zusammenfaßt: Ich bilde aus der Menge N der natürlichen Zahlen eine neue Menge DL mit Zahlenpaaren (l, m) als Elemente, welche die Bedingung m = ½l(l+1) erfüllen, benutze also ganz herkömmliche Arithmetik mit Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen (wobei das ½ schon „ein wenig“ Division enthält), vereinige diese Menge mit einer weiteren, DM, von Paaren (l, m) mit der Eigenschaft l = ½m(m+1) zur Menge D, deren Elemente also folgendermaßen definiert sind:

Definition 2 :
(l, m) ∈ D = { ( l, ½l(l+1) ) } ∪ { ( ½m(m+1), m ) }
 l, m  ∈ N.      D heiße „dynamischer Dorntorus“.

Für die linke Teilmenge DL gilt natürlich l ≤ m , für die rechte, DM, m ≤ l. Das Einselement (1, 1) ist doppelt vertreten, es kommt in beiden Teilmengen vor. (Zählt man Null zu den natürlichen Zahlen, kommt auch das entsprechende Element (0, 0) doppelt vor). Mit dieser Definition beinhaltet „dynamischer Dorntorus“ alle seine vorkommenden GRÖSSEN und MASSE.

Axiom D  (wie Dorntorus und wie Dynamik) :
Der Dorntorus - als Menge D alle Werte für GRÖSSE (l) und MASS (m) sowie deren Arithmetik repräsentierend - existiert nur in seiner dynamischen Form.

Ein statischer Dorntorus benötigt, um irgend einen Sinn zu machen, zusätzlich einen Raum, in den er hineingestellt, eingebettet, ist. Der dynamische Dorntorus ist durch sein Verhalten charakterisiert. Er muß nicht mit Hilfe weiterer Parameter beschrieben werden. Hält er an, ist er verschwunden! Der beiläufige Nebensatz zwischen den Gedankenstrichen hat es in mehrfacher Hinsicht in sich, und ich will seine Bedeutung in einem eigenen Satz - vorerst Behauptung - hervorheben. Es ist nichts weniger als das Ziel des Spiels.

Aussage E  (wie Eigenschaften und wie Entität) :
Der dynamische Dorntorus ist die Grundstruktur einer Geometrie, deren Eigenschaften analog sind dem Verhalten von Zahlen und damit auch dem Verhalten physikalischer Entitäten und Größen.

Soweit die 5 Aussagen. Man kann, so man will, aus der Menge D mit einer geeigneten Arithmetik den kompletten „Körper der Dorntoruszahlen“ bilden. Ich verzichte an dieser Stelle darauf, übergebe die Aufgabe in die Zuständigkeit der Mathematiker. Gewisse Eigenschaften lassen sich auch im Bild des Dorntorus weiterverfolgen. Das war ja auch die ursprüngliche Intention des ganzen Spiels, nämlich ein Bild, ein Modell, eine zu den Zahlen passende Geometrie zu entwerfen. Blicke ich zurück auf die Spielregeln, kann ich resümieren, den Etappenzielen ein gut Stück näher gekommen zu sein. Es zeichnet sich schon ab, daß aus der Kombination Abrollen und Rotieren eine ganze Menge Eigenschaften mit komplexer Struktur resultiert (Etappenziel 2), daß diese Eigenschaften alle auf demselben Prinzip beruhen, welches als Kandidat für Etappenziel 3 und die Spielregeln 4 und 5 in Frage kommt und daß diese Eigenschaften, die sich im Bild ergeben, auch mit Zahlen nachvollzogen werden können. GRÖSSE ist schon grob identifiziert, Etappenziel 6 also in greifbarer Nähe, und die übrigen kommen demnächst zur Sprache. Im Vorgriff darauf will ich eine Art von Eigenschaft ankündigen, die sowohl im Bild sehr schön anschaulich zu entdecken ist, als auch bei den Zahlen nicht der Symmetrie und Ästhetik entbehrt: Es lassen sich mathematische Konstanten wie π, Eulersche Zahl e, Eulersche Konstante C und dergleichen, Bedeutung der Primzahlen, sowie ganz allgemein Potenzreihenentwicklungen von Funktionen, Summenwerte numerischer Reihen und Grenzwerte von Produktfolgen als - den bekannten „Lissajous-Figuren“ in der Ebene analoge, aber vielfach komplexere - „Abrollinien“ auf der Dorntorusoberfläche darstellen und deren Länge berechnen. Viele physikalische Methoden bis hin zu den erfolgreichen Pfadintegralen in Quantenfeldtheorien bekommen dadurch direkte anschauliche Bedeutung.

Bild „Entität - Galaxie der Eigenschaften“